题目内容

6．如图，半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧支架固定在桌面上，距离圆弧边缘C处高度为$\frac{R}{3}$的D处固定一小定滑轮，一绕过定滑轮的轻绳两端系着质量分别为2m与m的小球a和b（均可视为质点），开始时，让a位于C处．不计一切摩擦，绳子足够长，回答：
（1）如果剪断DC间的绳子，让小球a在C处从静止开始沿支架自由滑下
①测得小球落地E处与桌子的水平距离EB等于2R，试求桌子AB的高度h；
②设小球a从C滑到A处的时间t1，从A运动到E的时间为t2，试比较t1、t2的大小，并说明理由；
（2）如果不剪断绳子，让小球a在C处从静止开始沿支架滑下，求从C到A过程中绳子拉力对a球所做的功

分析 （1）①小球在CA之间运动的过程中只有重力做功，由机械能守恒定律即可求出小球到达A时的速度，然后结合平抛运动的特点即可求出桌面的高度；
②小球在CA之间的运动类似于单摆，可以由单摆的周期公式求出时间；小球做平抛运动的时间与高度h有关，求出后比较即可．
（2）如果不剪断绳子，让小球a在C处从静止开始沿支架滑下，则运动的过程中a与b组成的系统满足机械能守恒，将小球a在A点的速度分解，求出a与B的速度关系，然后结合动能定理即可求出结果．

解答 解：（1）①剪断DC间的绳子球a在C到A的过程中机械能守恒，则：$\frac{1}{2}•2m{v}_{1}^{2}=2m•gR$
得：${v}_{1}=\sqrt{2gR}$
小球离开桌面后做平抛运动水平方向：2R=v1•t2
所以：${t}_{2}=\frac{2R}{{v}_{1}}=\frac{2R}{\sqrt{2gR}}=\sqrt{\frac{2R}{g}}$
则桌面的高度：h=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}=\frac{1}{2}g×\frac{2R}{g}=R$
②小球在CA之间的运动类似于单摆运动，从C到的时间是$\frac{1}{4}T$，所以：
${t}_{1}=\frac{1}{4}•2π\sqrt{\frac{R}{g}}=\frac{π}{2}•\sqrt{\frac{R}{g}}＞{t}_{2}=\sqrt{\frac{2R}{g}}$
（2）如果不剪断绳子，让小球a在C处从静止开始沿支架滑下的过程中b向上运动，由于不计一切摩擦，则a与b组成的系统的机械能守恒．
将小球a在A点的速度沿绳子的方向和垂直于绳子的方向分解，如图，则沿绳子方向的分速度与小球b的速度的大小是相等的，则：

由图中几何关系可知：$tanθ=\frac{R+\frac{R}{3}}{R}=\frac{4}{3}$，$\frac{R}{\overline{AD}}=cosθ$
所以：θ=53°，$\overline{AD}=\frac{5R}{3}$
由图中几何关系：vacosθ=vb
所以：vb=0.6va
又小球a在C处从静止沿支架滑下的过程中a与b组成的系统满足机械能守恒得：
2m•gR-mg（$\overline{AD}-\frac{R}{3}$）=$\frac{1}{2}•2m{v}_{a}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}$
联立以上方程得：${v}_{a}=0.75\sqrt{gR}$
小球a在C到A的过程中受到重力、支持力和绳子的拉力，支持力不做功，由动能定理得：
$2mgR+{W}_{绳子}=\frac{1}{2}•2m{v}_{a}^{2}-0$
所以：${W}_{绳子}=-\frac{25}{16}mgR$
答：（1）①测得小球落地E处与桌子的水平距离EB等于2R，桌子AB的高度是R；
②设小球a从C滑到A处的时间t1，从A运动到E的时间为t2，则t1＞t2；
（2）如果不剪断绳子，让小球a在C处从静止开始沿支架滑下，从C到A过程中绳子拉力对a球所做的功是$-\frac{25}{16}mgR$．

点评 该题中的两问实际对应的是两种不同的情况，第一种的情况比较简单，而第二种的情况下，小球a与小球b的速度大小是不相等的，需要将a的速度分解后才能使用动能定理或机械能守恒定律，这是题目的难点，也是非常容易出错的地方，要特别注意．

练习册系列答案
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