Question

11．宇航员站在一个星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的初速度增大到3倍，则抛出点与落地点之间的距离为$\sqrt{5}$L．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G．求该星球的质量M．

Answer 1

分析 根据平抛运动的规律，知初速度增大到2倍，则水平位移也增大2倍，结合几何关系求出小球落地的高度，通过平抛运动竖直方向上的运动规律求出重力加速度的大小，结合万有引力等于重力求出月球的质量M．

解答 解：设抛出点的高度为h，第一次平抛运动的水平位移为x，则${h}_{\;}^{2}+{x}_{\;}^{2}={L}_{\;}^{2}$①
若抛出的初速度为3倍时，则水平位移为3x   因此有：$（3x）_{\;}^{2}+{h}_{\;}^{2}=（\sqrt{5}L）_{\;}^{2}$②
设该星球表面的重力加速度为g，则$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$③
联立①②③得$h=\frac{L}{\sqrt{2}}$
$g=\frac{\sqrt{2}L}{{t}_{\;}^{2}}$
根据星球表面物体重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{\sqrt{2}L{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
答：该星球质量为$\frac{\sqrt{2}L{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$

点评 本题综合考查了平抛运动和万有引力的综合，知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力等于重力这一理论，并能灵活运用