Question

（2007?四川）目前，滑板运动受到青少年的追捧．如图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面内的示意图，赛道光滑，FGI为圆弧赛道，半径R=6.5m，G为最低点并与水平赛道BC位于同一水平面，KA、DE平台的高度都为h=18m．B、C、F处平滑连接．滑板a和b的质量均为m，m=5kg，运动员质量为M，M=45kg．表演开始，运动员站在滑板b上，先让滑板a从A点静止下滑，t₁=0.1s后再与b板一起从A点静止下滑．滑上BC赛道后，运动员从b板跳到同方向运动的a板上，在空中运动的时间t₂=0.6s．（水平方向是匀速运动）．运动员与a板一起沿CD赛道上滑后冲出赛道，落在EF赛道的P点，沿赛道滑行，经过G点时，运动员受到的支持力N=742.5N．（滑板和运动员的所有运动都在同一竖直平面内，计算时滑板和运动员都看作质点，取g=10m/s²）

（1）滑到G点时，运动员的速度是多大？
（2）运动员跳上滑板a后，在BC赛道上与滑板a共同运动的速度是多大？
（3）从表演开始到运动员滑至I的过程中，系统的机械能改变了多少？

Answer 1

分析：（1）已知G时运动员受到的支持力，而G点时运动员做圆周运动，则由牛顿第二定律及向心力公式可求得运动员的速度；
（2）AB过程中由机械能守恒可求得人和滑板a的速度，则由匀速运动位移公式可得出滑板a与人离开滑板b时的速度关系，由动量守恒可求得运动员和滑板a的共同速度；
（3）由动量守恒可求得运动员离开滑板b时的速度，则可判断运动员是否能再越过最高点，则可求得前后机械能的变化．

解答：解：（1）在G点，运动员和滑板一起做圆周运动，设向心加速度为a_n，速度为v_G，运动员受到重力Mg、滑板对运动员的支持力N的作用，则：N-Mg=Ma_n
加速度an=

v 2 G

R

则由牛顿第二定律可得：N-Mg=

M v 2 G

R

解得G点时的速度vG=

R(N-Mg) M

解得：v_G=6.5m/s
G点时运动员的速度为6.5m/s；
（2）设滑板由A点静止下滑到BC赛道后速度为v₁，由机械能守恒定律有：mgh=

1

2

m

v

2 1

解得：v1=

2gh1

运动员与滑板一起由A点静止下滑到BC赛道后，速度也为v₁，运动员由滑板b跳到滑板a，设蹬离滑板b时的水平速度为v₂，在空中飞行的水平位移为s，则：
s=v₂t₂
设起跳时滑板a与滑板b的水平距离为s₀，则：
s₀=v_lt_l
设滑板在t₂时间内的位移为s₁，则：
s₁=v₁t₂
s=s₀+s₁
即：v₂t₂=v₁（t₁+t₂）
运动员落到滑板a后，与滑板a共同运动的速度为v，由动量守恒定律有
mv_l+Mv₂=（m+M）v
由以上方程可解出：v=

mt2+M(t1+t2)

(M+m)t2

2gh

代入数据解得：v=6.9 m/s
运动员与滑板a的共同速度为6.9m/s；
（3）设运动员离开滑板b后，滑板b的速度为v₃，有
Mv₂+mv₃=（M+m）v₁
可算出v₃=-3 m/s，有：|v₃|=3 m/s＜v₁=6 m/s，b板将在两个平台之间来回运动，机械能不变．
系统的机械能改变为：△E=

1

2

(M+m)

v

2 G

+

1

2

m

v

2 3

-(m+m+M)gh
△E=88.75 J
改变的机械能为88.75J．

点评：本题要注意在人在滑板间跳动时会有能量损失，故不能直接利用机械能守恒求解，这是本题的一个难点，由于本题过程复杂，且隐含条件较多，故在解决本题时要求学生能认真读题，将题目中的隐含条件找出，从而建立正确的物理模型．