Question

如图所示（俯视图），相距为2L的光滑平行金属导轨水平放置，导轨一部分处在以OO′为右边界的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强大小为B，方向垂直导轨平面向下，导轨右侧接有定值电阻R，导轨电阻忽略不计．在距边界OO′为L处垂直导轨放置一质量为m、电阻不计的金属杆ab．求解以下问题：
（1）若金属杆ab固定在导轨上的初始位置．磁场的磁感应强度在时间t内由B均匀减小到零．求此过程中电阻R上产生的焦耳热Q_l．
（2）若磁场的磁感应强度不变，金属杆ab在恒力作用下由静止开始向右运动3L距离，其V--X的关系图象如图乙所示．求：
①金属杆ab刚要离开磁场时的加速度大小；
②此过程中电阻R上产生的焦耳热Q₂．

Answer 1

（1）磁场的磁感应强度在时间t内由B均匀减小到零，说明

△B

△t

=

B

t

根据法拉第电磁感应定律得出此过程中的感应电动势为：
E₁=

△Φ

△t

=

2BL2

t

  ①
通过R的电流为I₁=

E1

R

  ②
此过程中电阻R上产生的焦耳热为Q₁=I₁²Rt  ③
联立求得Q₁=

4B2L4

Rt

（2）①ab杆离起始位置的位移从L到3L的过程中，由动能定理可得：
F（3L-L）=

1

2

m（v₂²-v₁²）  ④
ab杆刚要离开磁场时，感应电动势     E₂=2BLv₁  ⑤
通过R的电流为I₂=

E2

R

⑥
ab杆水平方向上受安培力F_安和恒力F作用，安培力为：
F_安=2BI₂L  ⑦
联立⑤⑥⑦F_安=

4B2L2v1

R

  ⑧
由牛顿第二定律可得：F-F_安=ma ⑨
联立④⑧⑨解得a=

v22-v12

4L

-

4B2L2v1

mR

②ab杆在磁场中由起始位置到发生位移L的过程中，由动能定理可得：
FL+W_安=

1

2

mv₁²-0
W_安=

1

2

mv₁²-FL  ⑩
根据功能关系知道克服安培力做功等于电路中产生的焦耳热，
所以联立④⑩解得     Q₂=-W_安=

m(v22-3v12)

4

答：（1）若金属杆ab固定在导轨上的初始位置．磁场的磁感应强度在时间t内由B均匀减小到零．此过程中电阻R上产生的焦耳热为

4B2L4

Rt

．
（2）①金属杆ab刚要离开磁场时的加速度大小是

v22-v12

4L

-

4B2L2v1

mR

；
②此过程中电阻R上产生的焦耳热为

m(v22-3v12)

4

．