题目内容

12．如图所示，半径为R的圆形区域，c为圆心，在圆上a点有一粒子源以相同的速率向圆面内各个方向发射多个质量为m、电荷量为+q 的带电粒子．当圆形区域存在垂直于圆面、磁感应强度大小为B的匀强磁场时，沿ac方向射入的粒子从b 点离开场区，此过程粒子速度方向偏转了$\frac{2π}{3}$．若只将圆形区域内的磁场换成平行于圆面的匀强电场，粒子从电场圆边界的不同位置射出时有不同的动能，其最大动能是初动能的4倍，经过b点的粒子在 b点的动能是初动能的3倍．不计粒子重力及粒子间的相互作用．求：
（1）粒子源发射粒子的速率v0及从b点离开磁场的粒子在磁场中运动的最长时间tm
（2）电场强度的方向及大小．

分析 （1）画出运动轨迹，根据几何知识求解半径，根据qv0B=m$\frac{{V}_{0}^{2}}{r}$求解初速度，根据圆心角和周期求解时间；
（2）设电场方向与ab连线夹角为θ，离开电场时动能最大的粒子的射出点和C点连线一定和电场方向平行．画出图象，根据动能定理列式求解即可

解答 解：（1）粒子在磁场中作匀速圆周运动，设轨迹圆半径为r，作出以ab为弦的两段圆弧如图2所示，O1、O2分别为两圆圆心，由从b点射出的粒子速度偏转角知：对以O1为圆心的圆有：圆周角∠aO1b=$\frac{2π}{3}$，由几何知识可知：弦切角∠cab=$\frac{π}{3}$，△abC为等边三角形，
可得ab长度L=R…①
从△abO1可得：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R…②
由圆周运动的规律有：qv0B=m$\frac{{V}_{0}^{2}}{r}$…③
由⑧⑨式可得：v0=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$…④
粒子在磁场中运动时间最长时的轨迹是以O2为圆心的圆弧，
在菱形aO1bO2中有：∠aO2b=∠aO1b=$\frac{2π}{3}$
粒子的偏转角θ=2π-∠aO2b…⑤
由圆周运动的规律有：tm=$\frac{θr}{{V}_{0}}$…⑥
解得：tm=$\frac{4πm}{3qB}$
（2）设电场方向与ab连线夹角为θ，离开电场时动能最大的粒子的射出点和C点连线一定和电场方向平行，如图2所示．
在粒子从a运动到b点过程中由动能定理有：
qERcosθ=2×$\frac{1}{2}m{V}_{0}^{2}$…⑦
对离开电场时动能最大的粒子在电场中由动能定理有：qER[1+sin（θ+$\frac{π}{6}$）]=3×$\frac{1}{2}m{V}_{0}^{2}$…⑧
由④⑦⑧式解得：θ=0 （即电场方向由a指向b）
E=$\frac{qR{B}_{2}}{3m}$
或θ满足sinθ=-$\frac{4}{7}\sqrt{3}$
 E=$\frac{7qRB2}{3m}$  
答：（1）粒子源发射粒子的速率v0及从b点离开磁场的粒子在磁场中运动的最长时间$\frac{4πm}{3qB}$
（2）电场强度的方向及大小θ=0 （即电场方向由a指向b）E=$\frac{qR{B}_{2}}{3m}$或θ满足sinθ=-$\frac{4}{7}\sqrt{3}$，E=$\frac{7qRB2}{3m}$

点评 本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，画出运动轨迹图，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式，难度较大．

练习册系列答案
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A．B．C．D．
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（1）用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式：g=$\frac{4{n}^{2}{π}^{2}（L+\frac{d}{2}）}{{t}^{2}}$．
（2）要在摆球通过平衡位置时开始计时
（3）实验中，有个同学发现他测得的当地重力加速度总是偏大，其原因可能是D
A．实验室处在高山上，距离水平面太高
B．单摆所用的摆球太重了
C．测出n次全振动的时间t，误作为（n-1）次全振动的时间进行计算
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