Question

小船在静水中速度为14.4km/h，河水速度为10.8km/h，河宽600m，求：
①若要小船以最短时间过河，开船方向怎样？最短时间为多少？小船在河水中实际行驶的距离是多大？
②若要小船以最短距离过河，开船方向怎样（即船头与河岸上游或下游夹角）？过河时间为多少？（结果可用三角函数表示，如有根式，可化简后保留）

Answer 1

分析：船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．由矢量合成的平行四边形定则得知小船的合速度，小船实际以合速度做匀速直线运动，进而求得位移的大小；小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸．

解答：解：（1）当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短，
    则知：tmin=

d

v静

=

600

4

s= 150s，
    这时小船的合速度：v=

v 2 静 + v 2 水

=

42+32

 m/s=5m/s，
    所以，小船的位移大小是：
    s=vt_min=5×150m=750m．
（2）小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸，
设与河岸的夹角为θ，则由矢量合成的平行四边形法则解三角形得：cosθ=

3

4

，
这时合速度：v=

v 2 静 - v 2 水

=

42-32

m/s=

7

m/s，
过河时间：t=

d

v

=

600

7

s=

600 7

7

s．
答：（1）、要小船以最短时间过河，必须静水中速度垂直河岸，最短时间为150s，小船在河水中实际行驶的距离是750m．
    （2）、要小船以最短距离过河，则静水中的速度斜着向上游，与河岸的夹角为cosθ=

3

4

，过河时间为

600 7

7

s．

点评：小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．