Question

19．如图所示：质量M=0，6kg的滑板静止在光滑水平面上，其左端C距锁定装置D的水平距离l=0.5m，滑板的上表面由粗糙水平面和光滑$\frac{1}{4}$圆弧面在B点平滑对接而成，粗糙水平面长L=4m，圆弧的半径R=0.3m．现让一质量m=0.3kg，可视为质点的小滑块以大小v_o=5m/s、方向水平向左的初速度滑上滑板的右端A．若滑板到达D处即被锁定，滑块返回B点时装置D即刻解锁，已知滑块与滑板间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）滑板到达D处前瞬间的速率；
（2）滑块达到最大高度时与圆弧顶点P的距离；
（3）滑块与滑板间摩擦产生的总热量．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出加速度，然后应用匀变速直线运动的运动规律求出滑板的速率．
（2）由匀变速直线运动的速度位移公式求出滑块的速度，然后应用机械能守恒定律求出距离．
（3）摩擦力与相对位移的乘积等于克服摩擦力做功产生的热量，求出两过程产生的热量，然后求出总的热量．

解答 解：（1）对滑块，由牛顿第二定律得：μmg=ma₁，
对滑板，由牛顿第二定律有：μmg=Ma₂，
解得：a₁=2m/s²，a₂=1m/s²，
设滑板到达D处前瞬间的速率为v，假定此时滑块还在AB之间的E处，速率为v₁
由运动学规律有：l=$\frac{1}{2}$a₂t²，v=a₂t，v₁=v₀-a₁t，x=v₀t-$\frac{1}{2}$a₁t²，
解得：t=ls，v=1m/s，v₁=3m/s，x_AE=x-l=3.5m，
因x_AE＜L，假定成立，所以滑板到达D处前瞬间的速率：v=lm/s；
（2）滑板被锁定后，设滑块从E滑至B处的速率为v₂，
由运动学规律有：v₂²-v₁²=-2a₁（L-x_AE），解得：v₂=$\sqrt{7}$m/s，
沿圆弧上升的过程中，由机械能守恒定律有：mgH=$\frac{1}{2}$mv₂²，解得：H=0.35 m，
所以，滑块达到最大高度时与圆弧顶点P的距离：h=（H-R）=0.05m；
（3）滑块从A至B产生的热量：Q₁=μmgL，解得：Q₁=2.4J，
滑块返回B时的速率仍为v₂，此时滑板刚好解锁，此后滑块与滑板在相互间的摩擦力作
用下分别向右做减速与加速运动，假定达到共同速率v₃时，滑块仍在滑板上，
对滑块、滑板分别由运动学规律列式有：v₃=v₂-a₁t′，v₃=a₂t′，
x₁=v₂t′-$\frac{1}{2}$a₁t′²，x₂=$\frac{1}{2}$a₂t′²，解得：△x=x₁-x₂=$\frac{7}{6}$m＜L，假定成立，
所以这一过程产生的热量：Q₂=μmg△x，解得：Q₂=0.7J，
产生的总热量：Q=Q₁+Q₂=3.1J；
答：（1）滑板到达D处前瞬间的速率为1m/s；
（2）滑块达到最大高度时与圆弧顶点P的距离为0.05m；
（3）滑块与滑板间摩擦产生的总热量为3.1J．

点评 本题是一道力学综合题，考查了牛顿第二定律与运动学公式的应用，难度较大，分析清楚物体的运动过程是解题的关键，应用牛顿第二定律与运动学公式可以解题．