Question

如图所示，圆弧轨道在竖直平面内，半径为R，高为h，一物体从底端冲上弧面，若不计摩擦，欲使物体通过圆弧顶端而又不脱离弧面，则物体在圆弧底端时的速率υ₀满足的条件

2gh

≤v0≤

2gh+gR

．

Answer 1

分析：当物体刚能冲到圆轨道的最高时速度为零；物体经过最高点，刚要脱离轨道时，速度最大，根据动能定理或机械能守恒定律求出速度的最大值，再求出初速度的范围．

解答：解：设物体在顶端的速度为v，从水平轨道至圆弧轨道顶端的过程，
由动能定理得-mgh=

1

2

mv²-

1

2

mv₀² ①
若物体刚能到达顶端，即v=0，由①式可得
v₀=

2gh

；
若物体到达顶端且刚不脱离，应满足
mg=m

v2

R

由此得v²=Rg，代入①式得
v₀=

2gh+gR

故物体能冲上圆弧轨道并通过最高点而没有脱离轨道初速度v₀的范围为

2gh

≤v0≤

2gh+gR

．
故答案为：

2gh

≤v0≤

2gh+gR

．

点评：本题是动能定理和圆周运动临界条件的综合，它们之间联系的纽带是速度，关键要明确小球到达最高点的临界条件．