Question

14．如图所示，水平向左的匀强电场中，用长为l的绝缘轻质细绳悬挂一小球，小球质量为m，带电量为+q，将小球拉至竖直位置最低位置A点处无初速释放，小球将向左摆动，细线向左偏高竖直方向的最大角度θ=74°．
（1）求电场强度的大小E；
（2）将小球向左摆动的过程中，对细线拉力的最大值；
（3）若从A点处释放小球时，给小球一个水平向左的初速度v₀，则为摆正小球在运动过程中细线不会松弛，v₀的大小应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）小球将向左摆动，细线向左偏高竖直方向的最大角度θ=74°根据对称性，此时必有重力与电场力的合力与角分线在同一条线上，据此求解E．
（2）小球从B到D的过程等效重力场，由动能定理，结合牛顿运动定律，列式求解．
（3）等效重力场，结合牛顿运动定律，列式求解．

解答 解：（1）由于带电小球所受电场力方向向左，电场线方向也向左，分析小球的受力情况，
作出受力图如右图，

根据对称性，此时必有重力与电场力的合力与角分线在同一条线上，根据平衡条件得：
qE=mgtan$\frac{θ}{2}$
解得：E=$\frac{3mg}{4q}$
（2）小球运动的过程中速度最大的位置，由动能定理得：
qELsin$\frac{θ}{2}$-mg（L-Lcos$\frac{θ}{2}$）=$\frac{1}{2}$mv²
小球在$\frac{θ}{2}$时，由重力电场力与细线的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
F_T-mgcos$\frac{θ}{2}$-qEsin$\frac{θ}{2}$=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
解得：F_T=$\frac{7}{4}$mg
由牛顿第三定律可知细线所受的拉力大小为$\frac{7}{4}$mg
（3）要使细线不松弛有两种情况，当小球摆动过程中，细线的方向与F的方向不超过90°时，根据动能定理有：-FLcos$\frac{θ}{2}$≤0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀≤$\sqrt{2gL}$       
当小球能完成完整的圆周运动时，需满足：F≤$m\frac{{v}^{2}}{L}$       
根据动能定理有：-FL（1+cos$\frac{θ}{2}$）=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
  由上几式联立解得：v₀≥$\frac{\sqrt{23gL}}{2}$        
为保证小球在运动过程中，细线不松弛，
v₀的大小应满足的条件为：v₀≤$\sqrt{2gL}$或v₀≥$\frac{\sqrt{23gL}}{2}$；
答：（1）电场强度的大小$\frac{3mg}{4q}$；
（2）将小球向左摆动的过程中，对细线拉力的最大值$\frac{7}{4}$mg；
（3）v₀的大小应满足v₀≤$\sqrt{2gL}$或v₀≥$\frac{\sqrt{23gL}}{2}$．

点评 本题是力学知识与电场知识的综合，关键是分析清楚小球的受力情况和做功情况，运用动能定理和牛顿第二定律求解．