Question

19．如图所示，两平行光滑导轨间距为d倾斜放置，其倾角为θ，下端接一阻值为R的电阻，导轨电阻不计，一质量为m，电阻为r的金属棒并用细线通过轻质定滑轮与质量为M的重物相连．垂直于导轨平面有一匀强磁场，磁感应强度为B，整个装置从静止开始释放，当金属棒轨向上运动距离L时速度达到最大．不计空气阻力，斜面和磁场区域足够大，重力加速度为g．求：
（1）金属棒从开始运动到达到最大速度的过程中，通过金属棒横截面的电量．
（2）金属棒的最大速度；
（3）金属棒从开始运动到达到最大速度的过程中，金属棒中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，然后由电流的定义式求出电荷量．
（2）金属棒匀速运动时速度最大，应用平衡条件求出最大速度．
（3）应用能量守恒定律可以求出金属棒产生的焦耳热．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律得：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLd}{△t}$，
感应电流：I=$\frac{E}{R+r}$，
电荷量：q=I△t，
解得：q=$\frac{BLd}{R+r}$；
（2）金属棒做匀速直线运动时速度最大，
金属棒受到的安培力：F=BId=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
由平衡条件得：对重物：Mg=T，
对金属棒：T=mgsin37°+F，
解得：v_m=$\frac{（M-msinθ）g（R+r）}{{B}^{2}{d}^{2}}$；
（3）设产生的焦耳热为Q，由能量守恒定律得：
Mgh=mghsinθ+$\frac{1}{2}$（M+m）v_m²+Q，
解得：Q=（M-msinθ）gh-$\frac{（M+m）（M-msinθ）^{2}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{d}^{4}}$，
金属棒中产生的热量：Q_r=$\frac{r}{R+r}$Q=$\frac{r}{R+r}$[（M-msinθ）gh-$\frac{（M+m）（M-msinθ）^{2}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{d}^{4}}$]；
答：（1）金属棒从开始运动到达到最大速度的过程中，通过金属棒横截面的电量为：$\frac{BLd}{R+r}$．
（2）金属棒的最大速度为$\frac{（M-msinθ）g（R+r）}{{B}^{2}{d}^{2}}$；
（3）金属棒从开始运动到达到最大速度的过程中，金属棒中产生的焦耳热为$\frac{r}{R+r}$[（M-msinθ）gh-$\frac{（M+m）（M-msinθ）^{2}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{d}^{4}}$]．

点评 本题是电磁感应与力学、电路知识相结合的综合题，应法拉第电磁感应定律、欧姆定律、电流定义式、安培力公式、平衡条件与能量守恒定律可以解题；熟练掌握基础知识是正确解题的关键．