Question

10．如图所示，在xOy竖直平面内第二象限又相互垂直的匀强电场和匀强磁场．电场强度E₁=2500N/C，方向竖直向上；磁感应强度B=10³T，方向垂直纸面向外；有一质量m=1×10^-2kg、电荷量q=4×10^-5C的带正电小球自P点沿x轴方向成30°角以速度v₀=4m/s的速度射入复合场中，之后小球恰好从O点进入与x轴成75°的匀强电场中，该电场电场强度E₂=1250$\sqrt{2}$N/C，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）P点的空间位置坐标；
（2）小球经过O点后从Q点离开匀强电场E₂，试确定Q点的空间位置坐标；
（3）小球从P点到达Q点，经历多长时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在复合场中电场力和重力平衡，则只在洛仑兹力的作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可知粒子的半径，由几何关系可得出两点间的距离；
（2）粒子在电场中，由于重力和电场力的作用做类平抛运动，建立合适的坐标系，则可由运动的合成与分解求得两点间的距离．
（3）粒子分别做圆周运动和类平抛运动，分别求出粒子的两部分运动的时间，求和即可．

解答 解：（1）带电小球在正交的匀强电场和匀强磁场中受到重力G=mg=0.1N；
电场力F₁=Eq=2500N/C×4×10^-5C=0.1N
即G=F₁，故小球在正交的电场由A到C做匀速圆周运动．
根据牛顿第二定律可知：Bqv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
代入数据得：R=1m
由圆周运动的对称性可知，粒子在磁场中的偏转角是60°
由几何关系得：s₁=R=1m；
p点的坐标为：（-1m，0）
（2）带电小球在C点的速度大小仍为v₀=4m/s，方向与水平方向成30°．
由于电场力F₂=Eq=0.05$\sqrt{2}$N＜0.1N
所以粒子受到的合外力在竖直方向的分力向下，在水平方向的分力向左，粒子在水平方向先向右做减速运动，然后向左减速，从y轴离开电场的范围；
粒子在水平方向的分速度：${v}_{x}={v}_{0}cos30°=2\sqrt{3}$m/s
水平方向的加速度：${a}_{x}=\frac{{F}_{2}cos75°}{m}=\frac{0.05\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{0.01}$=$2.5（\sqrt{3}-1）$（m/s²）
由运动的对称性可知，当粒子离开电场时，向左的分速度与开始的大小相等，方向相反，所以运动的时间：
$t=\frac{2{v}_{x}}{{a}_{x}}$=$\frac{2×2\sqrt{3}}{2.5\sqrt{3}-2.5}$s=$\frac{4\sqrt{3}（\sqrt{3}+1）}{2.5（\sqrt{3}-1）（\sqrt{3}+1）}$s=$\frac{4（3+\sqrt{3}）}{5}$s≈3.786s
竖直方向的分速度：${v}_{y}={v}_{0}sin30°=4m/s×\frac{1}{2}=2$m/s
竖直方向的加速度：${a}_{y}=\frac{mg-{F}_{2}sin75°}{m}=\frac{0.1-0.05×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{0.01}m/{s}^{2}$=$2.5（3-\sqrt{3}）$（m/s²）≈3.17m/s²
粒子在竖直方向上的位移：$y={v}_{y}t+\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}$
代入数据得：y=30m
所以粒子离开电场的Q点的空间坐标为：（0，-30m）
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2×3.14×1}{4}s=1.57$s
粒子的偏转角是60°，所以粒子在磁场中运动的时间：$t′=\frac{60°}{360°}•T=\frac{1}{6}T=\frac{1}{6}×1.57s=0.262$s
粒子运动的总时间：t_总=t+t′=3.786s+0.262s≈4.0s
答：（1）P点的空间位置坐标是（-1m，0）；
（2）小球经过O点后从Q点离开匀强电场E₂，Q点的空间位置坐标是（0，-30m）；
（3）小球从P点到达Q点，经历的时间是4.0s．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，要注意当粒子在复合场中做匀速 圆周运动时，粒子受到的电场力与重力平衡．