题目内容

9．如图所示，固定的光滑平台上固定有光滑的半圆轨道，轨道半径R=0.6m．平台上静止着两个滑块A、B，mA=0.1kg，mB=0.2kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车，静止在光滑的水平地面上．小车质量为M=0.3kg，车面与平台的台面等高，小车的上表面的右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在Q点，小车的上表面左端点P与Q点之间是粗糙的，滑块B与PQ之间表面的动摩擦因数为μ=0.2，Q点右侧表面是光滑的．点燃炸药后，A、B分离瞬间A滑块获得向左的速度vA=6m/s，而滑块B则冲向小车．两滑块都可以看作质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，且g=10m/s2．求：

（1）滑块A在半圆轨道最高点对轨道的压力；
（2）若L=0.8m，滑块B滑上小车后的运动过程中弹簧的最大弹性势能；
（3）要使滑块B既能挤压弹簧，又最终没有滑离小车，则小车上PQ之间的距离L应在什么范围内？

分析 （1）A从最低点到达最高点过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律或动能定理列方程求出A到达最高点时的速度．A在最高时，由合力提供向心力，应用牛顿第二定律列方程求出A受到的支持力，然后由牛顿第三定律求出压力．
（2）炸药爆炸过程A、B组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出B的速度．B与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律与能量守恒定律可以求出弹簧的最大弹性势能．
（3）滑块最终没有离开小车，滑块和小车具有共同的末速度，根据滑块与小车组成的系统动量守恒求出共同速度．若小车PQ之间的距离L足够大，则滑块还没与弹簧接触就已经与小车相对静止，由能量守恒定律求出对应的L．若小车PQ之间的距离L不是很大，滑块恰好回到小车的左端P点处，由能量守恒定律求得对应的L，从而得到L的范围．

解答 解：（1）A从轨道最低点到轨道最高点，由机械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}{m_A}υ_A^2-\frac{1}{2}{m_A}{υ^2}={m_A}g×2R$
A在最高点时，由牛顿第二定律得：
  mAg+FN=mA$\frac{{v}^{2}}{R}$
滑块在半圆轨道最高点受到的压力为：FN=1N 
由牛顿第三定律得：滑块在半圆轨道最高点对轨道的压力大小为1N，方向竖直向上．
（2）爆炸过程，取向左为正方向，由动量守恒定律得：
   mAvA-mBvB=0
解得：vB=3m/s；
滑块B冲上小车后将弹簧压缩到最短时，弹簧具有最大弹性势能，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
  mBvB=（mB+M）v共
由能量守恒定律得：
   EP=$\frac{1}{2}$mBvB2-$\frac{1}{2}$（mB+M）v共2-μmBgL
解得：EP=0.22J；
（3）滑块最终没有离开小车，滑块和小车具有共同的末速度，设为u，滑块与小车组成的系统动量守恒，有
  mB vB=（M+mB）u
若小车PQ之间的距离L足够大，则滑块还没与弹簧接触就已经与小车相对静止，
设滑块恰好滑到Q点，由能量守恒定律得
   $μ{m_B}g{L_1}=\frac{1}{2}{m_B}υ_B^2-\frac{1}{2}（{m_B}+M）{u^2}$
联立解得  L1=1.35 m
若小车PQ之间的距离L不是很大，则滑块必然挤压弹簧，由于Q点右侧是光滑的，滑块必然被弹回到PQ之间，设滑块恰好回到小车的左端P点处，由能量守恒定律得   $2μ{m_B}g{L_2}=\frac{1}{2}{m_B}υ_B^2-\frac{1}{2}（{m_B}+M）{u^2}$
联立式解得 L2=0.675 m
综上所述，要使滑块既能挤压弹簧，又最终没有离开小车，PQ之间的距离L应满足的范围是 0.675 m＜L＜1.35m  
答：
（1）滑块在半圆轨道最高点对轨道的压力大小为1N，方向竖直向上．
（2）滑块B滑上小车后的运动过程中弹簧的最大弹性势能为0.22J．
（3）PQ之间的距离L应满足的范围是 0.675 m＜L＜1.35m．

点评 本题过程比较复杂，分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，确定研究对象与研究过程，应用牛顿第二定律、动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．

练习册系列答案
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