Question

15．实践证明开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运动，如图所示，卫星沿半径为R的圆周围绕着地球运动，其运动周期为T，如果卫星沿椭圆轨道运行，直至要下落返回地面，可在轨道的某一点A处将速率降低到适当数值，从而使卫星沿着以地心O为焦点的椭圆轨道运动，轨道与地球表面相切于B点，求卫星由A点运动到B点的时间（图中R₀是地球半径，圆形轨道作为椭圆轨道的一种特殊形式）

Answer 1

分析 根据开普勒第三定律，结合椭圆轨道半长轴的大小，求出飞船在椭圆轨道上的周期，从而求出飞船由A点到B点所需的时间．

解答 解：根据题图得椭圆轨道的半长轴r=$\frac{R+{R}_{0}}{2}$．
根据开普勒第三定律得，$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{r}^{3}}{T{′}^{2}}$
解得T′=$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}$T．
则飞船由A点到B点的运动时间 t=$\frac{1}{2}$T′=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}$T；
答：卫星由A点运动到B点的时间$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}$T．

点评 由题目的描述，飞船由A点到B点所需的时间应是椭圆轨道的半个周期．关键掌握开普勒第三定律，并能灵活运用．