Question

一辆质量m=20 t的小轿车，驶过半径R=90 m的一段圆弧形桥面，重力加速度g取10 m/s².求：

（1）若桥面为凹形，汽车以20 m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大?

（2）若桥面为凸形，汽车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大?

（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力?

Answer 1

思路分析：首先要确定汽车在何位置时对桥面的压力最大，汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状态.所以当汽车经过凹形桥面的最低点时，汽车对桥面的压力最大.

解析：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f.在竖直方向受到桥面向上的支持力F_N，和向下的重力G=mg，如图4-3-5所示.圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力F_N1与重力的合力为F_N1-mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F_向=F_N1-mg.由向心力公式有：F_N1-mg=

图4-3-5

解得桥面的支持力大小为

F_N1=+mg=2 000×N+2 000×10 N=2.89×10⁴ N

根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是2.89×10⁴ N.

（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G=mg和桥面向上的支持力F_N2，如图4-3-6所示.圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G与支持力F_N2的合力为mg-F_N2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F_向=mg-F_N2，由向心力公式有mg-F_N2=m

图4-3-6

解得桥面的支持力大小为

F_N2=mg-=2 000×10 N-2 000×N=1.78×10⁴ N

根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×10⁴ N.

（3）设汽车速度为v_m时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零.根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力G=mg就是汽车驶过桥顶点时的向心力，即F_向=mg，由向心力公式有mg=，解得：v_m= m/s=30 m/s

汽车以30 m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力.

答案：（1）2.89×10⁴ N  （2）1.78×10⁴ N  （3）30 m/s