Question

14．如图所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M．现以地面为参照系，给A和B以大小相等、方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板，以地面为参照系．
（1）若已知A和B的初速度大小为v₀，求它们最后的速度v以及所产生的热量Q．
（2）若已知A和B的初速度大小为v₀，当小木块A向左运动到达的最远处时（从地面上看），求B的速度v_B．
（3）若初速度的大小未知，当小木块A向左运动到达的最远处时（从地面上看），求B所发生的位移S_B．

Answer 1

分析 （1）系统置于光滑水平面，其所受合外力为零，系统总动量守恒，A最后刚好没有滑离B板，两者的速度相同，根据动量守恒定律即可求解；产生的热量等于初末系统总动能之差．
（2）恰好没有滑离，根据动能定理求出相对滑动产生的热量，向左运动到达最远处时速度为0，由动能定理列式，联立方程即可求解．

解答 解：（1）A刚好没有滑离B板时，v_A=v_B=v，A在B的最左端，设向右为正方向，则有：
Mv₀-mv₀=（M+m）v
解得：$v=\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$，
因m＜M，则V＞0，说明共同速度方向向右．
产生的热量等于A、B系统损失的机械能：$Q=\left.\begin{array}{l}{△E=\frac{1}{2}m{V}_{0}^{2}+\frac{1}{2}M{V}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{V}^{2}}\end{array}\right.$=$\frac{2Mm{v}_{0}^{2}}{M+m}$
  （2）当小木块A向左运动到达的最远处时，A向左减速为零时，设向右为正方向，则有：
  Mv₀-mv₀=Mv_B+0
得：${v}_{B}=\frac{M-m}{M}{v}_{0}$
（3）由于最后A刚好没有滑离B板，A、B系统损失的机械能转化为热能：
  $μmgL=\frac{2Mm{v}_{0}^{2}}{M+m}$
由上式得：$μ=\frac{2M{v}_{0}^{2}}{（M+m）gL}$
当B的速度减小到v_B的过程中，由动能定理得：$-μmg{S}_{B}=\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$
所以：S_B=$\frac{（2Mm-{m}^{2}）（M+m）}{4{M}^{2}m}•L$
答：（1）若已知A和B的初速度大小为v₀，它们最后的速度$\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$，方向向右；所产生的热量Q是$\frac{2Mm{v}_{0}^{2}}{M+m}$．
（2）若已知A和B的初速度大小为v₀，当小木块A向左运动到达的最远处时（从地面上看），B的速度v_B是$\frac{M-m}{M}{v}_{0}$；
（3）若初速度的大小未知，当小木块A向左运动到达的最远处时（从地面上看），B所发生的位移是$\frac{（2Mm-{m}^{2}）（M+m）}{4{M}^{2}m}•L$．

点评 本题关键要判断出系统的动量守恒，准确把握临界条件，并结合动能定理求解．