Question

7．如图所示，间距为L=0.5m足够长的平行金属导轨放置在与水平面间夹角为θ=37°的绝缘斜面上，导轨的上端连接有一个R=4Ω的电阻．有一个匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁感应强度为B0=1T．将一根质量为m=0.05kg、长度为L的金属棒ab放置在导轨上并与其垂直，且与导轨接触良好，金属棒的电阻r=1Ω，导轨的电阻不计．从导轨的顶端，由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动，已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，当金属棒向下滑行s=3m时达到稳定速度，则：（不计初始状态下导体棒与导轨顶端的间距，g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）
（1）金属棒达到的稳定速度是多大？
（2）金属棒沿导轨下滑距离为s的过程中，电阻R上产生的焦耳热为多少？
（3）若将金属棒达到稳定速度时计作时间t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，使金属棒中不产生感应电流，则t=1s时磁感应强度为多大？

Answer 1

分析 （1）对金属棒进行受力分析，达到稳定速度时，即为做匀速运动，根据平衡条件列出等式求解．
（2）根据能量守恒得，重力势能减小转化为动能、摩擦产生的内能和回路中产生的焦耳热．再根据串联电路能量（功率）分配关系，就可求得电阻R上产生的热量．
（3）要使金属棒中不产生感应电流，则穿过线框的磁通量不变．同时棒受到重力、支持力与滑动摩擦力做匀加速直线运动．从而可求出磁感应强度B应怎样随时间t变化的，然后求出磁感应强度．

解答 解：（1）在达到稳定速度前，金属棒的加速度逐渐减小，速度逐渐增大，达到稳定速度时，有：
感应电动势：E=B₀Lv，由欧姆定律得：E=I（R+r），
安培力：F_A=B₀IL，由平衡条件得：mgsinθ=F_A+μmgcosθ，代入数据解得：v=2m/s；
（2）根据能量守恒得，重力势能减小转化为动能、摩擦产生的内能和回路中产生的焦耳热．
由能量守恒定律得：mgs•sinθ=$\frac{1}{2}$mv²+μmgscosθ+Q，
电阻R上产生的热量：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，代入数据解得：Q_R=0.16J；
（3）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流．
此时金属棒将沿导轨做匀加速运动，故：mgsinθ-μmgcosθ=ma
设t时刻磁感应强度为B，则：B₀Ls=BL（s+x），
位移：x=vt+$\frac{1}{2}$at²，解得，t=1s时磁感应强度：B=0.5T；
答：（1）金属棒达到的稳定速度是2m/s；
（2）从静止开始直到达到稳定速度的过程中，电阻R上产生的热量是0.16J；
（3）t=1时磁感应强度应为0.5T．

点评 本题考查了牛顿运动定律、闭合电路殴姆定律、安培力公式、感应电动势公式，还有能量守恒．同时当金属棒速度达到稳定时，则一定是处于平衡状态，原因是安培力受到速度约束的．还巧妙用磁通量的变化去求出面积从而算出棒的距离．最后线框的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流是解题的突破点．