题目内容

精英家教网某同学用一个光滑的半圆形轨道和若干个大小相等、可视为质点的小球做了三个有趣的实验，轨道固定在竖直平面内，且两端同高．第一次，他将一个小球从离轨道最低点的竖直高度h处由静止沿轨道下滑（h远小于轨道半径），用秒表测得小球在轨道底部做往复运动的周期为T；第二次，他将小球A放在轨道的最低点，使另一个小球B从轨道最高点由静止沿轨道滑下并与底部的小球碰撞，结果小球B返回到原来高度的1/4，小球A也上滑到同样的高度；第三次，用三个质量之比为m1：m2：m3=5：3：2的小球做实验，如图所示，先将球m2和m3放在轨道的最低点，球m1从某一高度由静止沿轨道下滑，它们碰后上升的最大高度分别为h1、h2和h3，不考虑之后的碰撞．设实验中小球间的碰撞均无能量损失．重力加速度为g．求：
（1）半圆形轨道的半径R；
（2）第二次实验中两小球的质量之比mA：mB；
（3）第三次实验中三个小球上升的最大高度之比h1：h2：h3．
分析：（1）根据单摆周期公式求出圆形轨道半径．
（2）由机械能守恒定律可以求出小球速度．
（3）由动量守恒定律与机械能守恒定律列方程解题．
解答：解：（1）第一次实验中，小球的运动可以看做摆长为R的单摆，
由单摆周期公式得：T=2π
R
g
，则R=
T2g
4π2
；
（2）第二次实验中，球B从高为R处释放，设球B与球A碰撞前瞬间的速度大小为vB，
碰撞后瞬间它们速度的大小分别为vB′和vA．由题意知，球B与A碰后达到的高度均为
R
4
，
由机械能守恒定律得：
1
2
mBvB2=mBgR，
1
2
mBvB′2=mBg
R
4

1
2
mAvA′2=mAg
R
4
，
所以vB=
2gR
，vA=vB′=
1
2
gR
，
由动量守恒定律得：mBvB=-mBvB′+mAvA，解得
mA
mB
=
3
1
，
（3）根据题意设球1、2、3的质量分别为5m、3m和2m．设球1与球2碰撞前后的速度分别为v1、v1′，球2与球3碰撞前后的速度分别为v2、v2′，球3与球2碰撞后的速度为v3．
球1与球2碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有：
5mv1=5mv1′+3mv2，
1
2
×5mv12=
1
2
×5mv1′2+
1
2
×3mv22，
解得：v1′=
1
4
v1，v2=
5
4
v1，
球2与球3碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有
3mv2=3mv2′+3mv3，
1
2
×3mv22=
1
2
×3mv2′2+
1
2
×2mv32，
解得：v2′=
1
4
v1，v3=
3
2
v1，
在三个小球的上升过程中，根据机械能守恒定律有
1
2
×5mv1′2=5mgh1，
1
2
×3mv2′2=3mgh2，
1
2
×2mv3′2=2mgh3，
解得：h1：h2：h1=1：1：36；
答：（1）半圆形轨道的半径R=
T2g
4π2
；
（2）第二次实验中两小球的质量之比mA：mB=3：1；
（3）第三次实验中三个小球上升的最大高度之比h1：h2：h3=1：1：36．
点评：应用单摆周期公式、机械能守恒定律、动量守恒定律是正确解题的关键，本题涉及的研究对象多、过程复杂，难度较大，是一道难题．
练习册系列答案
相关题目
宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动时处于完全失重状态，物体对支持面几乎没有压力，所以在这种环境中已无法用天平称量物体的质量．假设某同学在这种环境中设计了如右图13所示的装置（图中O为光滑的小孔）来间接测量物体的质量：给待测量物体一个初速度，使它在桌面上做匀速圆周运动．设航天器中备有必要的基本测量工具．
（1）物体与桌面间的摩擦力
可以
可以
忽略不计（选填“可以”或“不能”），原因是
物体处于完全失重状态，对支持面没有压力，摩擦力为零
物体处于完全失重状态，对支持面没有压力，摩擦力为零
；
（2）物体做匀速圆周运动的向心力数值上等于
A
A
（选填“A．弹簧秤的拉力”或“B．物体的重力”，选填字母“A”或“B”）
（3）实验时需要测量的物理量是：圆周运动的周期T、弹簧秤示数F、
圆周运动半经r
圆周运动半经r
；（写出被测物理量的名称和字母）
（4）待测质量的表达式为m=
FT2
4π2r
FT2
4π2r
．
I．在一次课外活动中，某同学用图甲所示装置测量放在水平光滑桌面上铁块A与金属板B间的动摩擦因数．已知铁块A的质量mA=1kg，金属板B的质量mB=0.5kg．用水平力F向左拉金属板B，使其一直向左运动，稳定后弹簧秤示数的放大情况如图甲所示，则A、B间的摩擦力Ff=
2.50
2.50
N，A、B间的动摩擦因数μ=
0.25
0.25
．（g取10m/s2）．该同学还将纸带连接在金属板B的后面，通过打点计时器连续打下一系列的点，测量结果如图乙所示，图中各计数点间的时间间隔为0.1s，可求得拉金属板的水平力F=
3.50
3.50
N
II．在电流表扩大量程的实验中，要将量程为200 μA的电流表G改装成量程为0.2A的电流表，需先用如图1所示的电路即“半偏法”测出此电流表的内电阻Rg．
（1）在测量Rg的实验中，滑动变阻器有如下的规格供选择：
A．滑动变阻器（阻值范围0～10Ω）
B．滑动变阻器（阻值范围0～1500Ω）为了便于实验的调节操作，减小误差，滑动变阻器R滑应选用
A
A
．（填入选用器材的字母代号）
（2）当电阻箱的阻值为R1时，调节滑动变阻器滑动头P的位置，使 电流表G满偏；保持滑动头P的位置不动，调整电阻箱接入电路的阻值，当电阻箱的阻值为R2时，电流表G恰好半偏．则电流表G的内电阻Rg=
R2-2R1
R2-2R1
．
（3）若测得Rg=500Ω，为完成上述改装，需要用一个约为
0.5
0.5
Ω的电阻与电流表并联．
（4）用改装成的电流表，按图2所示的电路测量未知电阻Rx．若量未知电阻Rx时，电压表的示数为1.2V，而改装后的电流表的表头（刻度盘仍为原电流表的刻度）示数如图3所示，那么Rx的测量值为
10
10
Ω
（5）如果测量与操作均正确，那么Rx的测量值将
小于
小于
（选填“大于”或“小于”）Rx的真实值．
Ⅰ．在做“研究平抛物体的运动”的实验中，为了确定小球在不同时刻所通过的位置，实验时用如图所示的装置，将一块平木板钉上复写纸和白纸，竖直立于槽口前某处且和斜槽所在的平面垂直，使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止滑下．小球撞在木板上留下痕迹A；将木板向后移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止滑下，小球撞在木板上留下痕迹B；又将木板再向后移距离x，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止滑下，再得到痕迹C、A、B间距离y1，B、C间距离y2，用刻度尺测出x，y1，y2，重力加速度为g．
（1）导出测小球初速度的表达式v0=
x
g
y2-y1
x
g
y2-y1
．（用题中所给测量量字母表示）
（2）为了比较准确测出小球的初速度的数值，请你提出两条合理化建议
适当增加小球抛出的高度；适当增加X的距离；小球密度要大；小球光滑；小球的初速度要适当大些；木板竖直程度要高；保证小球水平抛出；增大y1y2的长度；刻度尺最小刻度要小等．
适当增加小球抛出的高度；适当增加X的距离；小球密度要大；小球光滑；小球的初速度要适当大些；木板竖直程度要高；保证小球水平抛出；增大y1y2的长度；刻度尺最小刻度要小等．
．
Ⅱ． 某同学在进行电压表改装的实验过程中，（1）首先用“半偏法”测一电电流表内阻，若采用图甲的电路装置，为了减小实验误差，要求电流表的内阻与变阻器R的关系  Rg
＜
＜
R，测得的电流表的内阻R测=R′，则测量值R测和真实值Rg的关系：R测
＜
＜
Rg．
（2）将测量出电阻的电流表改装成伏特表后，需要将改装好的伏特表与标准电压表进行核对，如果需要从零至满刻度的所有刻度进行核对，则必须采用乙和丙哪一个电路？
图乙
图乙
．


（3）根据所选择的电路图将下面所给器材连接成实验电路．
I．在一次课外活动中，某同学用图甲所示装置测量放在水平光滑桌面上铁块A与金属板B间的动摩擦因数．已知铁块A的质量mA=1kg，金属板B的质量mB=0.5kg．用水平力F向左拉金属板B，使其一直向左运动，稳定后弹簧秤示数的放大情况如图甲所示，则A、B间的摩擦力Ff=______N，A、B间的动摩擦因数μ=______．（g取10m/s2）．该同学还将纸带连接在金属板B的后面，通过打点计时器连续打下一系列的点，测量结果如图乙所示，图中各计数点间的时间间隔为0.1s，可求得拉金属板的水平力F=______N
II．在电流表扩大量程的实验中，要将量程为200 μA的电流表G改装成量程为0.2A的电流表，需先用如图1所示的电路即“半偏法”测出此电流表的内电阻Rg．
（1）在测量Rg的实验中，滑动变阻器有如下的规格供选择：
A．滑动变阻器（阻值范围0～10Ω）
B．滑动变阻器（阻值范围0～1500Ω）为了便于实验的调节操作，减小误差，滑动变阻器R滑应选用______．（填入选用器材的字母代号）
（2）当电阻箱的阻值为R1时，调节滑动变阻器滑动头P的位置，使 电流表G满偏；保持滑动头P的位置不动，调整电阻箱接入电路的阻值，当电阻箱的阻值为R2时，电流表G恰好半偏．则电流表G的内电阻Rg=______．
（3）若测得Rg=500Ω，为完成上述改装，需要用一个约为______Ω的电阻与电流表并联．
（4）用改装成的电流表，按图2所示的电路测量未知电阻Rx．若量未知电阻Rx时，电压表的示数为1.2V，而改装后的电流表的表头（刻度盘仍为原电流表的刻度）示数如图3所示，那么Rx的测量值为______Ω
（5）如果测量与操作均正确，那么Rx的测量值将______（选填“大于”或“小于”）Rx的真实值．

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