Question

19．如图所示，光滑水平面AB与半径为R=1m的竖直光滑半圆轨道平滑衔接，一个质量为m=1kg的小球在A处与一压缩弹簧靠在一起（不连接），释放小球后，小球开始向右运动，与弹簧分离后，经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的8倍，之后沿导轨运动到C点，重力的加速度为g=10m/s²，求：
（1）释放小球前弹簧的弹性势能E_p；
（2）小球离开最高点C后落回水平面时离B点的距离；
（3）若AB轨道的动摩擦因数μ=0.5，在满足第（1）问的前提下，要使小球能到达C点，AB的长度应该满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）研究物体经过B点的状态，根据牛顿第二定律求出物体经过B点的速度，得到物体的动能，物体从A点至B点的过程中，根据能量守恒定律求解释放小球前弹簧的弹性势能E_p．
（2）小球从B到C，遵守机械能守恒定律，由此定律求出小球经过C点的速度．小球离开最高点C后做平抛运动，根据平抛运动的规律和几何关系求解落回水平面时离B点的距离．
（3）求出小球能到达C点的临界速度，然后应用能量守恒定律求出AB间的距离，再分析答题．

解答 解：（1）小球经过B点时，由支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
  F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$；
由题意：F_N=8mg
联立解得：v_B=$\sqrt{7gR}$=$\sqrt{70}$m/s；
根据能量守恒定律，弹簧的弹性势能：
 E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×70$J=35J
（2）小球从B到C，由机械能守恒定律，得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 v_C=$\sqrt{30}$m/s
小球离开最高点C后做平抛运动，则得：
竖直方向：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：x=v_Ct
解得 x=2$\sqrt{3}$m
（3）若小球恰好运动到C点，在C点重力提供向心力，
由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由能量守恒定律得：
 E_P=$\frac{1}{2}$mv₀²+μmgs+2mgR，代入数据解得：s=4m
故要使小球能到达C点，AB的长度应该满足的条件为s≤4m
答：
（1）释放小球前弹簧的弹性势能E_p是35J．
（2）小球离开最高点C后落回水平面时离B点的距离是2$\sqrt{3}$m．
（3）要使小球能到达C点，AB的长度应该满足的条件为s≤4m．

点评 本题是力学综合题，分析清楚小球的运动过程，把握各个状态和过程的规律，应用牛顿第二定律、机械能守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．