Question

粗糙水平地面与光滑半圆形轨道连接，两个小球A、B可视为质点，最初A、B两球静止在半圆形轨道圆心O的正下方，如图所示．若A、B球之间夹有一小块炸药，炸药爆炸后，小球A恰能经过半圆形轨道的最高点，B球到达的最远位置恰好是A球在水平地面上的落点；已知粗糙水平地面与B球之间的摩擦因数为0.2，求A、B两球的质量之比．

Answer 1

分析：A、B组成的系统在炸药爆炸的瞬间前后动量守恒，根据牛顿第二定律求出A球在最高点的临界速度，抓住平抛运动的水平位移与B球匀减速直线运动的位移大小相等，结合机械能守恒定律和动能定理求出两球的质量之比．

解答：解：设A、B球的质量分别为m_A、m_B，炸药爆炸后的速度分别为v_A、v_B，A球到达半圆形轨道最高点时的速度为v_C，半圆形轨道半经为R．A球离开C点做平抛运动的时间为t，B球在水平面上移动的距离为S．则：
炸药爆炸过程由动量守恒定律得：m_Av_A-m_Bv_B=0…①
A球由最低点上升到C的过程，由机械能守恒定律得：

1

2

mA

v

2 A

=

1

2

mA

v

2 C

+mAg?2R…②
A球在最高点C，由圆周运动向心力公式得：mAg=mA

v 2 C

R

…③
A球做平抛运动，由平抛运动规律得：S=v_Ct，2R=

1

2

gt2…④
B球在水平方向的运动，由动能定理得：-μmBgS=0-

1

2

mB

v

2 B

…⑤
联立①②③④⑤并代入数据解得：

mA

mB

=

2

5

…⑥
答：A、B两球的质量之比为2：5．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律、机械能守恒定律、动量守恒定律、动能定理，涉及到平抛运动、圆周运动，综合性较强，是一道好题．