Question

如图所示，半径为R的

1

4

的光滑圆弧轨道竖直放置，底端与光滑的水平轨道相接，质量为m₂的小球B静止光滑水平轨道上，其左侧连接了一轻质弹簧，质量为m₁的小球A自圆弧轨道的顶端由静止释放，重力加速度为g，试求：
（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为多少？
（2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m₁与m₂应满足什么关系？

Answer 1

（1）设A球到达圆弧底端时的速度为v₀，
根据机械能守恒定律有：mgR=

1

2

m

v

20

   ①，
当A、B两球速度相同时，弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v
根据动量守恒定律有：m₁v₀=（m₁+m₂）v  ②，
根据机械能守恒定律有：EPm=

1

2

m1

v

20

-

1

2

(m1+m2)v2  ③，
联立①②③解得：EPm=

m1m2

m1+m2

gR，④
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v₁和v₂，
根据动量守恒定律有：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂ ⑤，
根据机械能守恒定律有：

1

2

m1

v

20

=

1

2

m1

v

21

+

1

2

m2

v

22

   ⑥，
联立⑤⑥解得：v1=

m1-m2

m1+m2

v0v2=

2m1

m1+m2

v0，
要使A、B两球能发生二次碰撞，必须满足|v₁|＞v₂ ⑨，
则有：-

m1-m2

m1+m2

＞

2m1

m1+m2

  ⑩，
解得：m1＜

1

3

m2，（m₁+m₂＜0不符合事实，舍去）；
答：（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为

m1m2gR

m1+m2

．
（2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m₁与m₂应满足的关系是m₁＜

1

3

m₂．