Question

如图所示，有一水平桌面长L，套上两端开有小孔的外罩（外罩内情况无法看见），桌面上沿中轴线有一段长度未知的粗糙面，其它部分光滑，一小物块（可视为质点）以速度v0=

1 2 gL

从桌面的左端沿桌面中轴线方向滑入，小物块与粗糙面的动摩擦系数μ=1/2，小物体滑出后做平抛运动，桌面离地高度h以及水平飞行距离s均为

L

2

（重力加速度为g）求：
（1）未知粗糙面的长度X为多少？
（2）若测得小物块从进入桌面到落地经历总时间为

5

2

L g

，则粗糙面前端离桌面最左端的距离？
（3）粗糙面放在何处，滑块滑过桌面用时最短，该时间为多大？

Answer 1

分析：（1）小球飞出后做平抛运动，根据平抛运动规律列方程求解离开桌面时的速度，然后根据动能定理列方程求解桌面的粗糙长度；
（2）分阶段根据运动形式采用不通规律求解各阶段的时间，然后求出总时间；
（3）先确定出粗糙面的位置，然后由运动学公式列方程求时间．

解答：解：（1）平抛运动：h=

1

2

gt²=

L

2

  t=

L g

  
s=vt=

L

2

   v=

1

2

gL

 
水平方向直线运动：

1

2

mv²-

1

2

mv_D²=-μmgx   
解得：x=

L

4

  
（2）令粗糙面的前端离桌面最左端距离为d，已知x=

L

4

，且不管粗糙面放哪，末速度不变为v=

1

2

gL

，但运行时间不同．
匀速直线运动 t₁=

d

v0

=

2d

2gL

 
匀减速直线运动t₂=

v0-v

μg

=（

2

-1）

L g

 
匀速直线运动t₃=

L-d- L 4

V

=

3

2

L g

-

2d

gL

 
平抛运动：t₄=

L g

 
由t=t₁+t₂+t₃+t₄=

5

2

L g

，
解得：d=

2

2

L 
（3）不管粗糙面放哪，末速度不变为v=

1

2

gL

，由第（2）小题知：t₂不变，两段匀速直线运动，总位移为

3L

4

，且v＜v₀，让大速度v₀位移最长时，运行时间最短，所以粗糙面前端应放在离桌面最左端

3L

4

处．
匀速直线运动 t₁=

3L 4

v0

=

3 2

4

L g

 
匀减速直线运动t₂=

v0-v

μg

=（

2

-1）

L g

 
匀速直线运动t₃=0，最短时间为t=t₁+t₂+t₃+t₄=（

7 2

4

-1）

L g

 
答：（1）未知粗糙面的长度X为

L

4

．
（2）若测得小物块从进入桌面到落地经历总时间为

5

2

L g

，则粗糙面前端离桌面最左端的距离

2

2

L 
（3）粗糙面放在何处，滑块滑过桌面用时最短，该时间为间为（

7 2

4

-1）

L g

．

点评：本题考查了平抛运动，匀变速直线运动的速度时间公式、以及动能定理，运动阶段较多提升了题目的难度，关键是确定出粗糙面的位置．