题目内容
如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B．折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力．（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？方向如何？
（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？
（3）求第（2）中微粒从P点到达Q点所用时间的最小值．
【答案】分析：（1）微粒沿PQ直线运动到Q点，电场力与洛伦兹力平衡，由平衡条件即可求出场强的大小，判断出电场的方向．
（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，画出可能的轨迹，由几何知识分析得出AP与轨迹对应的弦长关系，得到半径与L的关系通项，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出速度．
（3）求出微粒从P到Q过程中圆心角的总和θ，由t=
求出时间的通项，再求解时间的最小值．
解答：
解：（1）电场力与洛伦兹力平衡得：qE=qvB得：E=vB，场强方向在纸平面内垂直PQ向上．
（2）如图所示，画出粒子运动的轨迹，根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足：L=nx
其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，由于AP=AQ=L，角∠A=90°则知，偏转圆弧对应的圆心角为
或
．
设圆弧的半径为R，则有2R2=x2，可得：R=
=
…①
又：qvB=m
…②
由①②式得：v=
，n=1、2、3、…
（3）当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为
θ1=n
+n
=2nπ，
则：t1=2nπ
=
，其中n=1、3、5、…
当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为：
θ2=n
=nπ，
则：t2=n
=
，其中n=2、4、6、…
欲使时间最小，取n=1或者2，此时tmin=
答：（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，场强为vB，方向在纸平面内垂直PQ向上．
（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，初速度v应满足的条件是v=
，n=1、2、3、…．
（3）第（2）中微粒从P点到达Q点所用时间的最小值为
．
点评：本题中带电粒子在磁场中做周期性运动，关键是运用几何知识分析得到粒子运动半径与L的关系、圆心角的通项，是多解问题，得到的是半径通项，不是特殊值，不能漏解．
（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，画出可能的轨迹，由几何知识分析得出AP与轨迹对应的弦长关系，得到半径与L的关系通项，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出速度．
（3）求出微粒从P到Q过程中圆心角的总和θ，由t=
求出时间的通项，再求解时间的最小值．解答：
解：（1）电场力与洛伦兹力平衡得：qE=qvB得：E=vB，场强方向在纸平面内垂直PQ向上． （2）如图所示，画出粒子运动的轨迹，根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足：L=nx
其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，由于AP=AQ=L，角∠A=90°则知，偏转圆弧对应的圆心角为
或．设圆弧的半径为R，则有2R2=x2，可得：R=
=…①又：qvB=m
…②由①②式得：v=
，n=1、2、3、…（3）当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为
θ1=n
+n=2nπ，则：t1=2nπ
=，其中n=1、3、5、…当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为：
θ2=n
=nπ，则：t2=n
=，其中n=2、4、6、…欲使时间最小，取n=1或者2，此时tmin=
答：（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，场强为vB，方向在纸平面内垂直PQ向上．
（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，初速度v应满足的条件是v=
，n=1、2、3、…．（3）第（2）中微粒从P点到达Q点所用时间的最小值为
．点评：本题中带电粒子在磁场中做周期性运动，关键是运用几何知识分析得到粒子运动半径与L的关系、圆心角的通项，是多解问题，得到的是半径通项，不是特殊值，不能漏解．
练习册系列答案
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