题目内容

如图所示为宇宙中一个恒星系的示意图，其中A为该星系中的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运行的轨道半径为RO，周期为T．长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一定的偏离，且周期性地每格t．时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行的轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离．根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测？
分析：研究行星绕恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式带有周期表达式，再根据已知量解出恒星质量；根据开普勒第三定律解得轨道半径．
解答：解：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔t时间相距最近．
设B行星周期为TB，根据在时间t内A比B多转一圈，则有：
2π?t
T
-
2π?t
TB
=2π
TB=
tT
t-T
，
该B行星的运动的轨道半径为RB，
据开普勒第三定律：
R
3
B
T
2
B
=
R
2
0
T2

解得：RB=R
3(
t
t-T
)2

答：根据上述现象及假设可以得出B行星周期TB=
tT
t-T
，B行星的运动的轨道半径RB=R
3(
t
t-T
)2
．
点评：从本题可以看出，通过测量环绕天体的轨道半径和公转周期，可以求出中心天体的质量．
练习册系列答案
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（2009?东城区模拟）如图所示为宇宙中一个恒星系的示意图，其中A为该星系中的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运行的轨道半径为r，周期为T．已知万有引力常量G．
（1）求A行星做匀速圆周运动的向心加速度大小；
（2）求中央恒星O的质量；
（3）若中央恒星是半径为R的均匀球体，要使在此恒星表面被平抛出的物体不再落回恒星表面，通过计算说明抛出物体的速度需要满足什么条件．
如图所示为宇宙中一个恒星系的示意图，其中A为该星系中的一颗行星，她绕中央恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运行的轨道半径为r，周期为T．已知万有引力常量G．求
（1）A行星做匀速圆周运动的向心加速度a的大小；
（2）中央恒星O的质量M．
如图所示为宇宙中一个恒星系的示意图，其中A为该星系中的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运行的轨道半径为r，周期为T．已知万有引力常量G．
（1）求A行星做匀速圆周运动的向心加速度大小；
（2）求中央恒星O的质量；
（3）若中央恒星是半径为R的均匀球体，要使在此恒星表面被平抛出的物体不再落回恒星表面，通过计算说明抛出物体的速度需要满足什么条件．
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如图所示为宇宙中一个恒星系的示意图，其中A为该星系中的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运行的轨道半径为r，周期为T．已知万有引力常量G．
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（2）求中央恒星O的质量；
（3）若中央恒星是半径为R的均匀球体，要使在此恒星表面被平抛出的物体不再落回恒星表面，通过计算说明抛出物体的速度需要满足什么条件．

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