题目内容
如图所示为宇宙中一个恒星系的示意图，其中A为该星系中的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运行的轨道半径为RO，周期为T．长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一定的偏离，且周期性地每格t．时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行的轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离．根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测？分析：研究行星绕恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式带有周期表达式，再根据已知量解出恒星质量；根据开普勒第三定律解得轨道半径．
解答：解：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔t时间相距最近．
设B行星周期为TB，根据在时间t内A比B多转一圈，则有：
-
=2π
TB=
，
该B行星的运动的轨道半径为RB，
据开普勒第三定律：
=
解得：RB=R
答：根据上述现象及假设可以得出B行星周期TB=
，B行星的运动的轨道半径RB=R
．
设B行星周期为TB，根据在时间t内A比B多转一圈，则有：
| 2π?t |
| T |
| 2π?t |
| TB |
TB=
| tT |
| t-T |
该B行星的运动的轨道半径为RB，
据开普勒第三定律：
| ||
|
| ||
| T2 |
解得：RB=R
| 3 | (
| ||
答：根据上述现象及假设可以得出B行星周期TB=
| tT |
| t-T |
| 3 | (
| ||
点评：从本题可以看出，通过测量环绕天体的轨道半径和公转周期，可以求出中心天体的质量．
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如图所示为宇宙中一个恒星系的示意图，其中A为该星系中的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运行的轨道半径为r，周期为T．已知万有引力常量G．