Question

14．一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块放置于水平地面上．已知小石块的质量为m₀．气球（含球内氢气）的质量为m₂，气球的体积为V，空气密度为ρ（V和ρ均视作不变量），风沿水平方向吹，风速为v．已知风对气球的作用力f=ku（式中k为一已知系数，u为气球相对空气的速度）．开始时，小石块静止在地面上，如图所示，若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的空间中的风速v保持不变量，求气球能达到的最大速度的大小．

Answer 1

分析 气球稳定时在水平方向与空气相对静止，竖直方向相对空气匀速上升，受重力、阻力和浮力而平衡，根据平衡条件并结合运动的合成法列式求解末速度．

解答 解：气球的运动可分解成水平方向和竖直方向的两个分运动，达最大速度时，气球在水平方向做匀速运动，有：v_x=v，
气球在竖直方向匀速运动，有：m₂g+kv_y=ρgV，
气球的最大速度${v_m}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$，
联立求解得：${v_m}=\sqrt{{v^2}+{{（\frac{{ρgV-{m_2}g}}{k}）}^2}}$；
答：气球能达到的最大速度的大小为$\sqrt{{v}^{2}+{（\frac{ρgV-{m}_{2}g}{k}）}^{2}}$．

点评 本题关键是明确如果以空气为参考系，气球最后是匀速上升的，受力平衡；以地面为参考系，气球水平方向的分运动是匀速直线运动，竖直方向的分运动也是匀速直线运动．