Question

如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B₁，E的大小为0.5×10³V/m，B₁大小为0.5T；第一象限的某个区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B₂，磁场B₂的下边界与x轴重合．大量的质量m=1×10^-14kg、电荷量q=1×10^-10C的带正电微粒，以某一速度v沿与y轴正方向60°角，从y轴OM间进入B₁场，一段时间后，所有的微粒都通过第一象限中的某一点．已知微粒在B₁场中沿直线运动，M点的坐标为（0，-10）．不计粒子重力，g取10m/s²．
（1）请分析判断匀强电场E₁的方向并求出微粒的运动速度v；
（2）匀强磁场B₂的大小为多大？
（3）B₂磁场区域的最小面积为多少？

Answer 1

分析：（1）不计粒子重力，微粒在第四象限内仅受电场力和洛伦兹力而做直线运动，粒子必定做匀速直线运动，电场力和洛仑兹力相互平衡，根据左手定则判断出洛伦兹力方向，确定电场强度E₁的方向，由平衡条件求解微粒的运动速度v；
（2）画出微粒的运动轨迹与磁场的几何图．根据几何知识求出粒子在第一象限内做圆周运动的半径，由牛顿第二定律求解匀强磁场B₂的大小．
（3）磁场B₂的最小区域应该分布在微粒的运动轨迹与磁场两圆的公共部分的面积，根据几何知识求出B₂磁场区域的最小面积．

解答：解：（1）由题，粒子重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受电场力和洛伦兹力，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛仑兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动．这样，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，由左手定则可知，粒子所受的洛伦兹力方向与微粒运动的方向垂直，即与y轴负方向成30°角斜向上，则知电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与y轴负方向成30°角斜向下．
由力的平衡有     Eq=B₁qv
∴v=

E

B1

=

0.5×103

0.5

m/s=10³m/s
（2）画出微粒的运动轨迹与磁场的几何图．

由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为　R=

3

20

m
 qv₂B=m

v2

R

解之得B2=

2

3

3

T
（3）由几何可知，磁场B₂的最小区域应该分布在图示的两圆的公共部分的面积．
所以，所求磁场的最小面积为
S=2(

1

4

πR2-

R2

2

)=

3(π-2)

800

m2
答：
（1）匀强电场E₁的方向与y轴负方向成30°角斜向下．微粒的运动速度v是10³m/s；
（2）匀强磁场B₂的大小为

2

3

3

T．
（3）B₂磁场区域的最小面积为

3(π-2)

800

m2．

点评：本题中第四象限中电磁场相当于速度选择器，射入第一象限的所有粒子的速度是一定的．本题画出粒子的轨迹是解题的关键．