Question

如图所示，在真空中半径r=3.0×10^-2 m的圆形区域内，有磁感应强度B=0.2T，方向如图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v₀=1.0×10⁶ m/s，从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为q/m=1.0×10⁸ C/kg，不计粒子重力．求：
（1）粒子的轨迹半径；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

分析：（1）根据洛伦兹力提供向心力，得出粒子的轨道半径．
（2）首先做出轨迹图，利用几何关系判断出当弦长为多少时运动时间最长，从而可以计算出粒子在磁场中运行的最长时间．

解答：解：（1）由洛伦兹力提供向心力得：
qvB=m

v02

R

解得粒子的轨道半径R=

mv

qB

=0.05m＞r．
（2）故以ab为弦长的圆弧对应运动时间最长．
由图可知：
sinθ=

r

R

=

3

5

．
∴θ=37°
∴t=

2θ

360°

×

2πm

qB

=6.45×10-8s
答：（1）粒子的轨道半径为0.05m．
（2）粒子在磁场中运动的最长时间为6.45×10-8s．

点评：解决带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动问题时，应首先确定圆心的位置，找出半径，做好草图，利用数学几何并结合运动规律进行求解．
（1）圆心的确定：因洛伦兹力始终指向圆心，根据洛伦兹力的方向与速度的方向垂直，画出粒子运动轨迹中的任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心．
（2）半径的确定和计算，半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的方法．
（3）在磁场中运动时间的确定，由求出t，t=

θ

2π

T．