Question

7．如图所示是为了检验某种防护罩承受冲击力的装置，M是半径为R=1.0m的固定于竖直平面内的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平．N为待检验的固定曲面，该曲面在竖直面内的截面为抛物面，抛物面下端切线水平且恰好位于M轨道的圆心处，在如图所示的直角坐标系中，抛物面的方程为y=$\frac{1}{2}$x²（x、y的单位均为m），M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，每次总将弹簧长度压缩到枪口下方距枪口d=0.5m处后发射质量不同的小钢珠．小钢珠的直径略小于枪管的直径，不计空气阻力的影响，假设某次发射的质量为m=0.01kg的小钢珠a沿轨道恰好能经过M的上端点，水平飞出后落到抛物面N的某一点上，取g=10m/s²．
（1）求发射该钢珠前，弹簧的弹性势能E_p；
（2）求小钢珠a落到抛物面N上时的动能E_k（结果保留两位有效数字）；
（3）若小钢珠b的质量为m₁=0.005kg，问小钢珠b能否到达M的上端点？若能，则求出此小钢珠b在最高点时对M的压力大小．

Answer 1

分析 （1）钢珠沿轨道恰好能经过M的上端点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出钢球经过轨道最高点时的速度．再根据能量守恒定律求解发射该钢珠前，弹簧的弹性势能E_p．
（2）钢珠从最高点飞出后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，对水平和竖直两个方向分别列方程，并结合两个方向的位移关系：y=$\frac{1}{2}$x² ，求出竖直位移，再研究钢球从M的最高点到打到N点的过程，运用机械能守恒求解小钢珠a落到抛物面N上时的动能E_k．
（3）假设小钢珠b能到达M的上端点，根据机械能守恒定律求出它到达M的上端点时的速度，与临界速度比较，从而作出判断．若能，根据牛顿定律求压力．

解答 解：（1）设小钢珠a在M轨道最高点时的速度为v，在最高点时有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得 v=$\sqrt{10}$m/s
从发射到最高点，由系统的机械能守恒得：E_p=mg（d+R）+$\frac{1}{2}$mv²
代人数据解得：E_p=0.4J
（2）钢珠a从最高点飞出后做平抛运动，则有：
   x=vt
   h=$\frac{1}{2}$gt²
据题，由几何关系有  R-h=$\frac{1}{2}$x²
联立解得 h=0.5m
从M的最高点到打到N点的过程，由机械能守恒得：
  mgh+$\frac{1}{2}$mv²=E_k
代人数据解得：E_k=0.10J
（3）假设小钢珠b能到达M的上端点，设b到达M的上端点速度为v_b．
根据机械能守恒定律得：
  E_p=m₁g（d+R）+$\frac{1}{2}$m₁v_b²
代人数据解得：v_b=2$\sqrt{10}$m/s＞v=$\sqrt{10}$m/s
所以小钢珠b能到达M的上端点．
在M的上端点时，由牛顿第二定律有
  m₁g+N=m₁$\frac{{v}_{b}^{2}}{R}$
解得 N=0.15N
根据牛顿第三定律知，小钢珠b在最高点时对M的压力大小是0.15N．
答：
（1）发射该钢珠前，弹簧的弹性势能E_p是0.4J．
（2）小钢珠a落到抛物面N上时的动能E_k是0.10J；
（3）若小钢珠b的质量为m₁=0.005kg，小钢珠b能到达M的上端点，小钢珠b在最高点时对M的压力大小是0.15N．

点评 根据重力恰好提供向心力求解出最高点速度是突破口，要抓住临界条件：重力等于向心力，分析清楚能量的转化情况，然后根据机械能守恒定律和平抛运动的分位移公式列式．