Question

16．如图所示，一质量为m的质点，在一无摩擦的半径为R的竖直环形细圆管轨道上运动，通过最高点时的速度为v=$\sqrt{\frac{4}{5}Rg}$，g是重力加速度，则下列叙述正确的是（　　）

• A． 质点运动过程中机械能守恒
• B． 质点运动的最大速率为$\sqrt{6}v$
• C． 在最高点处，轨道对质点作用力的大小为$\frac{4}{5}$mg
• D． 在任一条直径的两个端点上，质点的动能之和不变

Answer 1

分析 圆管轨道没有摩擦，质点在轨道内运动，只有重力做功，机械能守恒，应用机械能守恒定律可以分析答题．

解答 解：A、圆管轨道没有摩擦，质点在运动过程中只有重力做功，质点的机械能守恒，故A正确；
B、质点机械能守恒，质点在最低点速度最大，质点从最高点到最低点运动过程中，由机械能守恒定律得：
mg•2R+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv′²，解得，质点的最大速度v′=$\sqrt{\frac{24}{5}Rg}$=$\sqrt{\frac{4}{5}Rg×6}$=$\sqrt{6}$v，故B正确；
C、在最高点，由牛顿第二定律得：mg-F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得，F=0.2mg，方向竖直向上，故C错误；
D、以过圆管轨道圆心的水平直径所在平面为零势面，质点机械能：E=mgR+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{7}{5}$mgR，
质点在任意一条直径上，到零势面的高度大小相等，一个在零势面上，一个在零势面下，
由机械能守恒定律得：质点在一直径上一端时，动能E_K=E+mgh，质点在直径另一端时，
动能E_K′=E-mgh，则质点在任一条直径的两个端点上，质点的动能之和E_K+E_K′=2E=$\frac{14}{5}$mgR，是定值，故D正确；
故选：ABD．

点评 只有重力或只有弹力做功时，系统机械能守恒，由题意可知，圆管轨道没有摩擦，则质点在运动过程中只有重力做功，质点的机械能守恒，由机械能守恒定律即可正确解题．