Question

如图所示，坐标平面的第Ⅰ象限内存在大小为E、方向水平向左的匀强电场，足够长的挡板MN垂直x轴放置且距离点O为d，第Ⅱ象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m，带电量为一q的粒子（重力忽略不计）若自距原点O为L的A点以一定的速度垂直x轴进入磁场，则粒子恰好到达O点而不进入电场．现将该种粒子两个仍从A点但以不同方向先后射入磁场，但初速度大小变为原来的4倍，为使粒子进入电场后能同时垂直到达挡板MN上被吸收，求：
（1）这两个粒子从A点射入磁场的时间间隔．
（2）粒子打到挡板MN上时的速度大小．

Answer 1

分析：画出轨迹由几何关系确定粒子的半径大小，然后根据半径公式求出粒子的速度，然后求而出当速度加倍后的半径

解答：解：（1）粒子在磁场中作圆周运动半径为r，速度为v₀，由牛顿第二定律知：
qv₀B=m

v02

r

所以圆周运动的半径为r=

mv0

qB

由几何关系知：r=

l

2

得初速度大小为v₀=

Bql

2m

设粒子初速度为原来的4倍时半径为r₁，速度为v₁，由牛顿第二定律知：
qv₁B=m

v12

r1

v₁=4v₀
解得：r₁=2L
v₁=

2qBL

m

为使粒子进入电场后能垂直到达挡板MN上，粒子必须平行x轴进入电场，圆心O在y轴上，设速度方向与x轴正方向夹角为θ，由几何关系知：
sinθ=

OA

O1A

=

L

2L

=

1

2

所以θ=30°或θ=150°
粒子在磁场中运动时间分别为t₁=

30°

360°

T=

πm

6Bq

t₂=

150°

360°

T=

5πm

6Bq

两粒子射入的时间间隔△t=t₂-t₁=

2πm

3Bq

（2）设粒子到达挡板速度为v₂，由动能定理知：
qEd=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²
解得：v₂=

2qEd m + 4q2B2L2 m2

答：（1）这两个粒子从A点射入磁场的时间间隔=

2πm

3Bq

．
（2）粒子打到挡板MN上时的速度大小为

2qEd m + 4q2B2L2 m2

．

点评：本题考查了带电粒子在组合场中的运动，画出轨迹分阶段处理是关键，带电粒子在电场中加速的情况通常由动能定理解决比较简单．