Question

（2012?丹东模拟）如图所示，坐标平面的第I象限内存在大小为E、方向水平向左的匀强电场，足够长的挡板MN垂直x轴放置且距离点O为d，第II象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m，带电量为-q的粒子（重力忽略不计）若自距原点O为L的A点以一定的速度垂直x轴进入磁场，则粒子恰好到达O点而不进入电场．现该粒子仍从A点进入磁场，但初速度大小为原来的4倍，为使粒子进入电场后能垂直到达挡板MN上，求：
（1）粒子第一次从A点进入磁场时，速度的大小；
（2）粒子第二次从A点进入磁场时，速度方向与x轴正向间的夹角大小；
（3）粒子打到挡板上时的速度大小．

Answer 1

分析：（1）粒子进入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力．粒子自距原点O为L的A点以一定的速度垂直x轴进入磁场，恰好到达O点，轨迹为半圆，则知轨迹半径r=

L

2

．由牛顿第二定律可求出粒子第一次从A点进入磁场时速度的大小．
（2）粒子第二次从A点进入磁场时，初速度大小为原来的4倍，由r=

mv

qB

可求出轨迹的半径，为使粒子进入电场后能垂直到达挡板MN上，粒子必须平行于x轴进入电场，根据几何知识求出速度方向与x轴正向间的夹角大小．
（3）在电场中电场力对粒子做正功，根据动能定理求解粒子打到挡板上时的速度大小．

解答：解：（1）粒子自距原点O为L的A点以一定的速度垂直x轴进入磁场，恰好到达O点，轨迹为半圆，则得轨迹半径为r=

L

2

粒子进入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有：
qv₀B=m

v 2 0

r

，解得：v₀=

qBL

2m

（2）设初速度大小为原来的4倍时半径为r₁、速度为v₁=4v₀，由r=

mv

qB

得：r₁=4r=2L，
为使粒子进入电场后能垂直到达挡板MN上，粒子必须平行于x轴进入电场，设初速度方向与x轴正向间的夹角大小为θ，由几何关系知：
sinθ=

OA

O′A

=

L

2L

=

1

2

故 θ=30°
（3）在电场中电场力对粒子做正功，根据动能定理得：
qEd=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

解得：v₂=

2qEd m + 4q2B2L2 m2

答：
（1）粒子第一次从A点进入磁场时，速度的大小为

qBL

2m

；
（2）粒子第二次从A点进入磁场时，速度方向与x轴正向间的夹角大小30°；
（3）粒子打到挡板上时的速度大小为

2qEd m + 4q2B2L2 m2

．

点评：本题带电粒子先磁场中做匀速圆周运动，后电场中做匀加速直线运动，画轨迹是带电粒子在磁场中运动问题基本的处理方法．