题目内容

5．如图所示，质量均为m的物体B、C分别与轻质弹簧的两端相栓接，将它们放在光滑水平面上，静止时弹簧的形变量为x0．将质量也为m的物体A从B的正上方某点由静止释放，A与B相碰．已知重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力．求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）若A与B相碰后粘连在一起开始做简谐运动，当A与B第一次运动到最高点时，C对地面的压力恰好为零，求C对地面压力的最大值；
（3）若将A从另一位置由静止释放，A与B相碰后不粘连，但仍立即一起运动，且当B第一次运动到最高点时，C对地面的压力也恰好为零．已知A与B相碰后弹簧第一次恢复原长时B的速度大小为v=$\sqrt{1.5g{x}_{0}}$，求相碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离．

分析 （1）对B进行受力分析，由平衡条件求出弹簧的劲度系数．
（2）根据简谐运动特点求出回复力，然后应用平衡条件、牛顿第三定律求出C对地面的最大压力．
（3）对A应用机械能守恒定律求出A、B碰撞前A的速度，由动量守恒定律求出碰撞后A、B的速度，对A与B组成的系统、B与C组成的系统、对A、对B应用机械能守恒定律，分析答题．

解答 解：（1）物体B静止时，弹簧形变量为x0，弹簧的弹力F=mg，根据胡克定律得：F=kx0，即有kx0=mg，解得，弹簧的劲度系数k=$\frac{mg}{{x}_{0}}$；
（2）A与B碰后一起做简谐运动到最高点时，物体C对地面的压力为0，则：
对C，弹簧弹力：F弹=mg
对A、B，回复力最大：F回=2mg+F弹=3mg
由简谐运动的对称性，可知A与B碰后一起做简谐运动到最低点时，回复力也最大，为F回=3mg，此时物体C对地面的压力最大，对物体A、B有：F弹′-2mg=3mg，
则弹簧弹力：F弹′=5mg
对物体C，设地面对物体C的弹力为N，则：N=5mg+mg=6mg，
由牛顿第三定律可知，C对地面最大的压力大小：N′=N=6mg．
（3）设物体A释放时A与B之间距离为x，A与B相碰前物体A速度的大小为v1．
对物体A，从开始下滑到A、B相碰前的过程，由机械能守恒定律得：
 mgx=$\frac{1}{2}$mv12，
解得：v1=$\sqrt{2gx}$…①
设A与B相碰后两物体共同速度的大小为v2，A与B发生碰撞的过程动量守恒，
以碰前A的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv1=（m+m）v2，
解得：v2=$\frac{1}{2}$v1…②，
物体B静止时弹簧的形变量为x0，设弹性势能为EP，从A、B开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m+m）v22+EP=$\frac{1}{2}$（m+m）v2+（m+m）gx0…③，
当弹簧第一次恢复原长时A、B恰好分离，设分离后物体A还能沿斜面上升的距离为x1．
对物体A，从与B分离到最高点的过程，机械能守恒，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv2=mgx1
解得：x1=1.5x0，
对物体B、C和弹簧所组成的系统，物体B运动到最高点时速度为0，
物体C恰好离开挡板D，此时弹簧的伸长量也为x0，弹簧的弹性势能也为EP．从A、B分离到B运动到最高点的过程，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv2=mgx0+EP，
解得：EP=$\frac{1}{4}mg{x}_{0}$…④，
由①②③④解得：x=9x0，
由几何关系可得，物体A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离：
  d=x-x1-x0=6.5x0．           
答：
（1）弹簧的劲度系数k=$\frac{mg}{{x}_{0}}$；
（2）C对挡板D压力的最大值为6mg；
（3）碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离为6.5x0．

点评 本题的关键是认真分析物理过程，把复杂的物理过程分成几个小过程并且找到每个过程遵守的物理规律，列出相应的物理方程解题．是一道全面考查动量守恒、机械能守恒的比较困难又容易出错的好题．

练习册系列答案
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