Question

　　如图所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O．在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点处固定一个质量为m的小球B．放开盘让其自由转动，问：

　　(1)当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？

　　(2)A球转到最低点的线速度是多少？

　　(3)在转动过程中，半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

Answer 1

答案：
解析：

这是一道机械能与圆周运动的综合问题．在圆盘由静止开始发生自由转动的过程中，只有重力做功，机械能守恒．当A球转到最低点时，两个球重力势能的总减少量等于两个球获得的动能之和．当半径OA向左偏离竖直方向的角度达到最大时，A，B两球的动能必为零．由机械能守恒定律可求出半径OA向左偏离竖直方向所达到的最大角度． 　　(1)选取过O的水平面为参考平面，则有 　　　　    －＝－mgr－(－mgr)＝mgr． 　　(2)选取两个小球及地球为系统，由机械能守恒定律得 　　　　    mgr＝m＋m，又vB＝， 则有 　　　　    mgr＝m·，  vA＝． 　　(3)设半径OA向左偏离竖直方向的最大角度为θ，如图所示．由机械能守恒定律可知，初、末态系统的重力势能相等，仍选取过O的水平面为参考平面，则有 　　　　　　  －mg＝－mgrcosθ＋mgsinθ． 整理得： 　　　　　　　　　　  2cosθ＝1＋sinθ． 平方后得 　　　　　　  4(1－sin2θ)＝1＋sin2θ＋2sinθ． 　　　　　　　　   5sin2θ＋2sinθ－3＝0 解得： 　　　　　　 sinθ＝(舍去负根)． θ＝arcsin．