Question

15．如图所示，质量相同的两颗卫星a、b绕地球做匀速圆周运动，其中b是地球的同步卫星，a、b的轨道半径间的关系为r_a³：r_b³=4：9，此时a、b恰好相距最近，且线速度方向相同；已知地球质量为M，地球自转周期为T，万有引力常量为G，则（　　）

• A． 这两颗卫星的发射速度均大于7.9km/s且小于11.2km/s
• B． a、b的线速度大小之比为v_a：v_b=2：3
• C． 卫星a的机械能小于卫星b的机械能
• D． 卫星a和b下一次相距最近还需经过t=2T

Answer 1

分析 第一宇宙速度7.9km/s是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小初始速度，第二宇宙速度11.2km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；卫星从低轨道到高轨道需要克服引力做较多的功；卫星受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式分析线速度关系和周期关系．

解答 解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动，7.9km/s是指在地球附近发射的飞行器绕地球飞行所需的最小初始速度，11.2km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．所以这两颗卫星的发射速度均大于7.9km/s且小于11.2km/s，故A正确；
B、对于卫星，根据牛顿第二定律，有：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
故$\frac{v_a}{v_b}=\frac{{\sqrt{\frac{GM}{r_a}}}}{{\sqrt{\frac{GM}{r_b}}}}=\root{3}{{\frac{3}{2}}}$
故B错误；
C、卫星从低轨道到高轨道需要克服引力做较多的功，卫星a、b质量相同，所以卫星b的机械能大于卫星a的机械能，故C正确；
D、卫星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
解得：$T=2π\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
故$\frac{T_a}{T_b}=\frac{{2π\sqrt{\frac{{{r_a}^3}}{GM}}}}{{2π\sqrt{\frac{{{r_b}^3}}{GM}}}}=\frac{2}{3}$
由于T_b=T，故Ta=$\frac{2}{3}T$；
卫星a和b两次相距最近过程中，卫星a多转动一圈，故：
$2π=\frac{2π}{T_a}t-\frac{2π}{T_b}t$
解得：
$t=\frac{{{T_a}{T_b}}}{{{T_b}-{T_a}}}=2T$
故D正确；
故选：ACD

点评 理解三种宇宙速度，特别注意第一宇宙速度的三种说法，能抓住万有引力提供向心力列出等式解决问题的思路，再进行讨论求解．