Question

14．如图所示，在竖直方向土A，B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上；B、C两物体厦过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上．用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A，B的质量均为m，斜面倾角为θ=37°，重力加速度为g滑轮的质量和摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．C释放后沿斜面下滑，当A刚要离开地面时，B的速度最大（sin37=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）从开始到物体A刚要离开地面的过程中，物体C沿斜面下滑的距离；
（2）C的质量；
（3）A刚离开地面时，C的动能．

Answer 1

分析 （1）根据胡克定律根据物体A和B所受弹力大小求得物体C沿斜面下滑的距离；
（2）根据牛顿可知，当A刚要离开地面时B的速度最大，此时B所受合力为零，根据平衡求得C的质量；
（3）由于弹簧但长和压缩时的弹力相等，故在B上升的整个过程中弹簧弹力做功为零，根据动能定理求得A刚离开地面时C的动能．

解答 解：（1）设开始时弹簧压缩的长度为x_B，由题意有：
$k{x}_{B}=mg\\;\\;\\;\\;\\;\\;①$         ①
设当物体A刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为x_A，有
kx_A=mg            ②
当物体A刚离开地面时，物体B上升的距离及物体C沿斜面下滑的距离为：
$h={x}_{A}+{x}_{B}=\frac{2mg}{k}$
（2）物体A刚离开地面时，以B为研究对象，物体B受到重力mg、弹簧的弹力kxA，细线的拉力T三个力的作用，设物体B的加速度为a，根据牛顿第二定律，对B有：
T-mg-kx_A=ma          ③
对C有：m_Cgsinθ-T=m_Ca       ④
当B获得最大速度时，有：a=0      ⑤
由②③④⑤式解得：${m}_{C}=\frac{10}{3}m$
（3）根据动能定理有：
对于C有：m_cghsinθ-W_T=E_kc-0        ⑥
对于B有：W_T-m_Bgh+W_弹=E_kB-0          ⑦
其中弹簧弹力先做正功后做负功，总功为零，W_弹=0           ⑧
BC的质量速度大小相等，故其动能大小之比为其质量大小之比即：$\frac{{E}_{kC}}{{E}_{kB}}=\frac{10}{3}$          ⑨
由⑥⑦⑧⑨解得${E}_{kC}=\frac{20{m}^{2}{g}^{2}}{13k}$
答：（1）从开始到物体A刚要离开地面的过程中，物体C沿斜面下滑的距离为$\frac{2mg}{k}$；
（2）C的质量为$\frac{10}{3}m$；
（3）A刚离开地面时，C的动能为$\frac{20{m}^{2}{g}^{2}}{13k}$．

点评 本题关键是分析求出系统的运动情况，然后结合机械能守恒定律和胡克定律多次列式求解分析，较难．