题目内容
4．
如图所示，设小球沿弯曲轨道从静止滑下后能滑上圆环O，圆环部分有一个对称于通过环体中心竖直线的缺口AB，已知圆环的半径为R，缺口的圆心角∠AOB=2α=106°，忽略一切摩擦．（sin37°=0.5，cos37°=0.8）问：（1）若小球从过圆环的中心O的等高线处（h0=R）由静止开始滑下，则在最低点小球对轨道的压力是多少？
（2）为使小球恰好能沿圆环到达A点，小球滑下的高度h1又为多少？
（3）为使小球飞离圆环O缺口并重新回到圆环，小球滑下的高度h2又为多少？
分析 （1）研究小球从开始到最低点的过程，由机械能守恒定律求出通过最低点的速度，在最低点，由牛顿运动定律求小球对轨道的压力．
（2）小球恰好能沿圆环到达A点时，只受重力，由重力的径向分力提供向心力，由此求得小球通过A点的速度，再根据机械能守恒定律求小球滑下的高度h1．
（3）小球离开圆环O缺口并重新回到圆环的过程做斜抛运动，根据分位移公式求出小球通过A点的速度，再根据机械能守恒定律求小球滑下的高度h2．
解答 解：（1）小球从开始到最低点的过程，由机械能守恒定律得
mgh0=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在最低点，由牛顿第二定律得
N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
结合 h0=R，解得 N=3mg
（2）设小球恰好能沿圆环到达A点为vA．
在A点，有 mgcosα=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
根据机械能守恒定律得 mgh1=mgR（1+cosα）+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
可得 h1=2.2R
（3）小球离开圆环O缺口并重新回到圆环的过程做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直向上运动．设小球到达A点为vA′．
则得
2Rsinα=vA′cosα•t
t=$\frac{2{v}_{A}′sinα}{g}$
联立解得 vA′=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$
根据机械能守恒定律得 mgh2=mgR（1+cosα）+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{′2}$
可得 h2=$\frac{61}{25}$R
答：
（1）若小球从过圆环的中心O的等高线处（h0=R）由静止开始滑下，则在最低点小球对轨道的压力是3mg．
（2）为使小球恰好能沿圆环到达A点，小球滑下的高度h1又为2.2R．
（3）为使小球飞离圆环O缺口并重新回到圆环，小球滑下的高度h2又为$\frac{61}{25}$R．
点评 本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律、斜抛运动的综合，解决本题的关键是掌握运动的分解法研究斜抛运动，斜抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直向上运动，运用数学知识结合研究．
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| C． | 可能做匀加速直线运动 | D． | 可能做匀速圆周运动 |
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| B． | 当小球到达最低点b时，线中的拉力一定最大 | |
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| D． | 小球在运动过程中机械能守恒 |
| A． | 一定是匀变速运动 | |
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