Question

3．如图所示，可视为质点的三个物块A、B、C质量分别m₁、m₂、m₃，三物块间有两根轻质弹黄a、b，b弹簧原长为L₀，两弹簧的劲度系数均为k，a的两端与物块连接，b的两端与物块只接触不连接．a、b被压缩一段距离后，分别由质量忽略不计的硬质连杆锁定，此时b的长度为L，整个装置竖直静止与水平地面上，重力加速度为g．（弹簧的弹性势能可以表示为E_p=$\frac{1}{2}$k△x²，其中△x为弹簧的形变量）；
（1）现解开对a的锁定．若当B到达最高点时，A对地面压力恰为零，求此时a弹簧的伸长的长度△x₂．
（2）求a弹簧开始锁定时的压缩量△x₁．
（3）在B到达高点瞬间，解除a与B的连接，并撤走A与a，同时解除对b的锁定．设b恢复形变时间极短，此过程中弹力冲量远大于重力冲量，不计B、C的重力，球C的最大速度的大小．
（4）在第（3）问的基础上，求C自b解锁瞬间至恢复原长时上升的高度．

Answer 1

分析 （1）对A分析，根据胡克定律和共点力平衡求出a弹簧的伸长的长度△x₂．
（2）对BC整体研究，当地面压力为零时，结合BC整体的合力求出加速度，根据简谐运动的对称性，根据牛顿第二定律和胡克定律求出a弹簧开始锁定时的压缩量△x₁．
（3）解除aB连接后，当B弹簧恢复原长时，C的速度最大为v₃，此时B的速度为v₂，因为不考虑重力的影响，BC组成的系统动量守恒，结合动量守恒定律和机械能守恒定律求出球C的最大速度的大小．
（4）结合动量守恒定律，求出C自b解锁瞬间至恢复原长时上升的高度．

解答 解：（1）BC到达最高点时，弹簧伸长△x₂，有
m₁g=k△x₂，求得$△{x}_{2}=\frac{{m}_{1}g}{k}$．
（2）对BC，设此时的加速度为a，有（m₁+m₂+m₃）g=（m₂+m₃）a，
设在解除a锁定时弹簧的压缩量为△x₁，根据BC解除锁定后运动的对称性，有
k△x₁-（m₂+m₃）g=（m₂+m₃）a
求得$△{x}_{1}=\frac{2（{m}_{2}+{m}_{3}）g+{m}_{1}g}{k}$．
（3）解除aB连接后，当B弹簧恢复原长时，C的速度最大为v₃，此时B的速度为v₂，因为不考虑重力的影响，BC组成的系统动量守恒，规定C的速度方向为正方向，有m₃v₃-m₂v₂=0
此过程中BC和弹簧组成的系统机械能守恒，
有$\frac{1}{2}{m}_{3}{{v}_{3}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}k（{L}_{0}-L）^{2}$，
求得${v}_{3}=\sqrt{\frac{{m}_{2}k}{（{m}_{2}{m}_{3}+{{m}_{3}}^{2}）}}（{L}_{0}-L）$．
（4）设从解除a与B的连接到C的速度达到最大所用的时间为△t，此过程中B和C移动的距离分别是h₂，h₃．有m₃v₃△t-m₂v₂△t=0，
即：m₂h₂-m₃h₃=0，
且：h₂+h₃=（L₀-L），
求得：${h}_{3}=\frac{{m}_{2}}{{m}_{2}+{m}_{3}}（{L}_{0}-L）$．
答：（1）a弹簧的伸长的长度为$\frac{{m}_{1}g}{k}$；
（2）a弹簧开始锁定时的压缩量为$\frac{2（{m}_{2}+{m}_{3}）g+{m}_{1}g}{k}$．
（3）球C的最大速度的大小为$\sqrt{\frac{{m}_{2}k}{（{m}_{2}{m}_{3}+{{m}_{3}}^{2}）}}（{L}_{0}-L）$；
（4）C自b解锁瞬间至恢复原长时上升的高度为$\frac{{m}_{2}}{{m}_{2}+{m}_{3}}（{L}_{0}-L）$．

点评 本题考查了牛顿第二定律、共点力平衡、动量守恒定律、机械能守恒定律、胡克定律的综合运用，综合性较强，对学生的能力要求较高．知道BC整体做简谐运动的对称性．