题目内容

12．如图所示，倾角为θ的光滑斜面底端固定一弹性挡板P，将小滑块A和B从斜面上距挡板P分别为l和3l的位置同时由静止释放，A与挡板碰撞后以原速率返回；A与B的碰撞时间极短且无机械能损失．已知A的质量为3m、B的质量为m，重力加速度为g，滑块碰撞前后在一条直线上运动，忽略空气阻力及碰撞时间，将滑块视为质点，求：
（1）两滑块第一次相碰的位置；
（2）两滑块第一次相碰后，B与挡板的最远距离．

分析 （1）根据牛顿第二定律求出两个滑块在斜面上运动时的加速度．由位移公式求出A运动到P的时间，由速度公式求得A运动到P的速度．再根据相遇时位移关系列式，求运动时间，再由位移公式求解两滑块第一次相碰的位置到P的距离．
（2）先结合上题的结果，由速度公式求出两滑块碰撞前瞬间的速度，再根据弹性碰撞的规律：动量守恒和动能守恒列式，求得碰后瞬间两者的速度．再由运动学公式求B与挡板的最远距离．

解答 解：（1）两滑块在斜面上运动时，加速度相同，设为a，由牛顿第二定律有：
mgsinθ=ma
得：a=gsinθ
设A运动到P的时间为t1，速度为v1，则有：
l=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，v1=at1．
解得：t1=$\sqrt{\frac{2l}{a}}$，v1=$\sqrt{2al}$
A与挡板碰撞后，以速率v1沿斜面向上滑动，设A球再经过时间t2与B相遇，相遇点到P的距离为x．由运动学规律得：
x=v1t2-$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
B在斜面上做匀加速运动，由运动学规律有：
3l-x=$\frac{1}{2}a（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$
解得：t2=$\sqrt{\frac{l}{2a}}$，x=$\frac{3}{4}$l
（2）设A与B碰撞前的速度大小分别为vA和vB．则有：
vA=v1-at2．
vB=a（t1+t2）
解得：vA=$\sqrt{\frac{al}{2}}$，方向沿斜面向上．vB=3$\sqrt{\frac{al}{2}}$，方向沿斜面向下．
设A与B碰撞后的速度分别为vA′和vB′，规定沿斜面向上为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律有：
3mvA-mvB=3mvA′+mvB′
$\frac{1}{2}•$3mvA2+$\frac{1}{2}$mvB2=$\frac{1}{2}•$3mvA′2+$\frac{1}{2}$mvB′2
解得：vA′=-$\sqrt{\frac{al}{2}}$，vB′=3$\sqrt{\frac{al}{2}}$
第一次相碰后，B上滑的距离为xB，则有：
0-vB′2=-2axB．
B与挡板的最远距离为：
xm=x+xB
解得：xm=3l
答：（1）两滑块第一次相碰的位置到P的距离为$\frac{3}{4}$l；
（2）两滑块第一次相碰后，B与挡板的最远距离是3l．

点评 解决本题的关键是理清两个滑块的运动过程，运用牛顿第二定律和运动学公式边计算边分析，要把握相遇时两者的位移关系，这是解题的关键．

练习册系列答案
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