Question

2．假设站在赤道某地的人，恰能在日落后1小时的时候，观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星．若该卫星是在赤道所在平面做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6.6倍．求：
（1）此人造地球卫星绕地球运行的周期为多少？
（2）经过多长时间该卫星再次出现在人头顶正上空？

Answer 1

分析 （1）作出卫星与地球之间的几何关系，根据几何关系确定卫星的轨道半径．设此卫星的运行周期为T₁，地球的运行周期为T₂，则地球同步卫星的周期也为T₂，依据常识我们可以知道T₂=24小时．根据开普勒第三定律求解．
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空．

解答 解：（1）如图所示：
太阳光可认为是平行光，O是地心，人开始在A点，这时刚好日落，因为经过24小时地球转一圈，所以经过1小时，地球转了15度，即：∠AOC=15°，此时人已经到了B点，卫星在人的正上方C点，太阳光正好能照到卫星，所以根据∠AOC=15°就能确定卫星的轨道半径为：
$cos15°=\frac{AO}{CO}$
所以：OC=1.035R．
设此卫星的运行周期为T₁，地球的运行周期为T₂，则地球同步卫星的周期也为T₂，依据常识我们可以知道T₂=24小时．
根据开普勒第三定律有：：$\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$=$\frac{{（1.035R）}^{3}}{{（6.6R）}^{3}}$
代入数据得：T₁=1.49h=5364 s．
（2）设至少经多长t时间卫星再次经过A点正上空，则：$\frac{2π}{{T}_{1}}•t-\frac{2π}{{T}_{2}}•t=2π$
解得 t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$=$\frac{{T}_{0}T}{{T}_{0}-T}$
代入数据得：t=5719s
答：（1）此人造地球卫星绕地球运行的周期为5364s；
（2）经过5719s的时间该卫星再次出现在人头顶正上空．

点评 这个题的关键就是要我们领会到“恰能在日落后1小时的时候，恰观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星”，这句话是用来告诉我们求这颗卫星的轨道半径的，依据它的轨道半径的比值关系再求出它的周期与地球周期的比，进而解出它的周期．