Question

16．如图所示，质量为M的U型金属框M′MNN′，静放在粗糙绝缘水平面上（动摩擦因数为μ），且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．MM′、NN′边相互平行，相距为L，电阻不计且足够长，底边MN垂直于MM′，电阻为r．质量为m的光滑导体棒ab电阻为R，垂直MM′放在框架上，整个装置处于垂直轨道平面向上．磁感应强度大小为B的匀强磁场中．在与ab垂直的水平拉力作用下，ab沿轨道由静止开始做匀加速直线运动，经x距离后撤去拉力，直至最后停下，整个过程中框架恰好没动．若导体棒ab与MM′、NN′始终保持良好接触，求：
（1）加速过程中通过导体棒ab的电量q；
（2）导体棒ab的最大速度v_m以及匀加速阶段的加速度；
（3）导体棒ab走过的总位移．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律结合电荷量的计算公式求解电荷量；
（2）对框架根据共点力的平衡条件求解导体棒的最大速度；根据匀变速直线运动位移速度关系求解加速度；
（3）撤去力后导体棒在安培力作用下做减速运动，由动量定理列方程求解减速位移，从而求解总路程．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律可得：E=$\frac{△Φ}{△t}$，
感应电流为：I=$\frac{E}{R+r}$，
根据电荷量的计算公式可得：
q=I△t=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}$；
（2）由题意可知当框架恰好不动时，导体棒速度最大，对框架根据共点力的平衡条件可得：
F_A=f=μ（M+m）g，
根据安培力的计算公式可得：
F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
联立解得：v_m=$\frac{μg（M+m）（r+R）}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
根据匀变速直线运动位移速度关系可得：
${v}_{m}^{2}=2ax$，
解得：a=$\frac{{μ}^{2}{g}^{2}（M+m）^{2}（r+R）^{2}}{{2B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）撤去力后导体棒在安培力作用下做减速运动，由动量定理可知：
$B\overline{I}Lt=m{v}_{m}-0$，
即：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\overline{v}t}{R+r}=m{v}_{m}$，
而以后运动的位移为：x′=$\overline{v}t$，
解得：x′=$\frac{μmg（M+m）（r+R）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$，
所以总路程为：s=x+x′=x+$\frac{μmg（M+m）{（r+R）}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．
答：（1）加速过程中通过导体棒ab的电量为$\frac{BLx}{R+r}$；
（2）导体棒ab的最大速度为$\frac{μg（M+m）（r+R）}{{B}^{2}{L}^{2}}$，匀加速阶段的加速度为$\frac{{μ}^{2}{g}^{2}{（M+m）}^{2}{（r+R）}^{2}}{{2B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）导体棒ab走过的总位移为x+$\frac{μmg（M+m）{（r+R）}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解；如果涉及安培力作用下求位移问题，首先要考虑到动量定理．