Question

17．（1）在某星球的表面上有一倾角为θ的斜面，如图，从斜面上的A点以v水平抛出一物体，物体经过时间t落在斜面上，已知该星球半径为R，求该星球上的第一宇宙速度？
（2）若有一人造卫星绕该星球做匀速圆周运动，轨道距地面的高度等于该星球半径的1.5倍，星球半径为6.4×10⁶m，星球表面附近的重力加速度g₀=π²m/s²．求这颗人造卫星的周期是多大？

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的规律求星球表面的重力加速度，再求星球的第一宇宙速度
（2）在地球表面重力与万有引力相等，万有引力提供卫星圆周运动向心力展开讨论即可．

解答 解：（1）根据平抛运动的规律有：x=vt①
$y=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$②
根据几何关系有：$tanθ=\frac{y}{x}③$
代入数据得$tanθ=\frac{gt}{2v}$
即$g=\frac{2vtanθ}{t}$
根据$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
第一宇宙速度：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2vRtanθ}{t}}$
（2）人造卫星的轨道半径r=R+h=2.5R
根据万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
在星球表面重力等于万有引力$m′g=G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}$
联立解得$T=\sqrt{\frac{{4π}_{\;}^{2}（2.5R）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（2.5R）_{\;}^{3}}{{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}}$=$2×1{0}_{\;}^{4}s$
答：（1）该星球上的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{2vRtanθ}{t}}$
（2）这颗人造卫星的周期是$2×1{0}_{\;}^{4}s$

点评 本题抓住万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力来解决问题，掌握规律是正确解题的关键．