Question

两足够长的平行金属导轨间的距离为L，导轨光滑且电阻不计，导轨所在的平面与水平面夹角为θ．在导轨所在平面内，分布磁感应强度为B、方向垂直于导轨所在平面的匀强磁场．把一个质量为m的导体棒ab放在金属导轨上，在外力作用下保持静止，导体棒与金属导轨垂直、且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻为R₁．完成下列问题：
（1）如图甲，金属导轨的一端接一个内阻为r的导体棒．撤去外力后导体棒仍能静止．求导体棒上的电流方向和电源电动势大小？
（2）如图乙，金属导轨的一端接一个阻值为R₂的定值电阻，让导体棒由静止开始下滑，求导体棒所能达到的最大速度？
（3）在（2）问中当导体棒下滑高度为h速度刚好达最大，求这一过程，导体棒上产生的热量和通过电阻R₂电量？

Answer 1

分析：（1）由左手定则判断出ab棒中电流方向，根据全电路欧姆定律、安培力公式及共点力平衡条件列式，即可求出电源电动势大小．
（2）让导体棒由静止开始下滑，导体棒先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动，达到稳定状态，根据安培力与重力沿斜面向下的分力平衡，列式求出棒的最大速度．
（3）当导体棒下滑高度为h的过程中，导体棒的机械能减小转化为电路的内能，根据能量守恒求出电路中产生的总热量，由串联关系求导体棒上产生的热量．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=It求电量．

解答：解：（1）由左手定则可得：b指向a  
回路中的电流为  I=

E

R1+r

  ①
导体棒受到的安培力为  F_安=BIL  ②
对导体棒受力分析知  F_安=mgsinθ  ③
联立上面三式解得：E=

mg(R1+r)sinθ

BL

  ④
（2）当ab杆速度为v时，感应电动势  E=BLv，此时电路中电流   I=

E

R

=

BLv

R1+R2

  ⑤
当 

B2L2v

R1+R2

=mgsinθ时，ab杆达到最大速度 v_m
  vm=

mg(R1+R2)sinθ

B2L2

  ⑥
（3）由能的转化和守恒定律可得：mgh=Q总+

1

2

m

v

2 m

  ⑦
导体棒上产生的热量  Q棒=

R1

R1+R2

Q总  ⑧
联立⑥⑦⑧得：Q棒=

R1

R1+R2

(mgh-

m3g2(R1+R2)2sin2θ

2B4L4

)  ⑨
由

.

E

=

△Φ

△t

，

.

I

=

. E

R1+R2

，q=

.

I

?△t，△Φ=BL?

h

sinθ

联立得通过电阻R₂电量  q=

BLh

(R1+R2)sinθ

  ⑩
答：
（1）导体棒上的电流方向为和b指向a，电源电动势大小为

mg(R1+r)sinθ

BL

．
（2）导体棒所能达到的最大速度为

mg(R1+R2)sinθ

B2L2

．
（3）导体棒上产生的热量为

R1

R1+R2

(mgh-

m3g2(R1+R2)2sin2θ

2B4L4

)，通过电阻R₂电量为

BLh

(R1+R2)sinθ

．

点评：本题是电磁感应与电路、磁场、力学等等知识的综合，涉及的知识较多，综合性较强，分析安培力和能量如何变化是关键．