Question

20．如图所示，在一光滑的长直轨道上，放着若干完全相同的小木块，每个小木块的质量均为m，且体积足够小均能够看成质点，其编号依次为0、1、2、…n…，相邻各木块之间的距离分别记作：l₁，l₂，…l_n…．在所有木块都静止的初始条件下，有一个沿轨道方向水平向右的恒力F持续作用在0号小木块上，使其与后面的木块连接发生碰撞，假如所有碰撞都是完全非弹性的（碰后合为一体共速运动）．求：

（1）在0号木块与1号木块碰撞后瞬间，其共同速度的表达式；
（2）若F=10牛，l₁=l₂=1米，那么在2号木块被碰撞后的瞬间，系统的总动能为多少？
（3）在F=10牛，l₁=1米的前提下，为了保持正在运动的物块系统在每次碰撞之前的瞬间其总动能都为一个恒定的数值，那么我们应该设计第n-1号和第n号木块之间距离l_n为多少米？

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出碰撞前0号木块的速度，碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律求出速度．
（2）由动能的计算公式、动量与动能的关系求出系统的总动能．
（3）应用动能定理可以求出木块间的距离．

解答 解（1）0号与1号碰撞前、后0号的瞬时速度分别为v₁、v'_共1
对0号木块，由动能定理得：$F{l_1}=\frac{1}{2}mv_1^2-0$，
碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₁=2mv'_共1，
解得：v'_共1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{\frac{F{l}_{1}}{m}}$；
（2）1号刚刚被碰之后，系统的总动能：${E'_{k1}}=\frac{1}{2}×2m×v'_{共1}^2=5$J…①
2号木块临近被碰前系统的总动能：E_k2=E'_k1+Fl₂=5+10×1=15J
由$P=\sqrt{2m{E_k}}$关系和动量守恒定律有：$\sqrt{2×2m{E_{k2}}}=\sqrt{2×3m{{E'}_{k2}}}$，
得2号刚被碰之后的系统的总动能：${E'_{k2}}=\frac{2}{3}{E_{k2}}=\frac{2}{3}×15=10$J；
（3）由题意分析知每次碰撞前系统需保持的总动能为：E_k=Fl₁=10焦，
将①式道理推广到其他各次碰撞中，可得与第n-1块碰撞前后系统的动能关系为：${E'_{{k_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n}{E_{{k_{n-1}}}}$
在l₂段应用动能定理有：$F{l_2}={E_{k_2}}-{E'_{k_1}}={E_{k_2}}-\frac{1}{2}{E_{k_1}}$，
则：${l_2}=\frac{1}{2}$米
在l₃段应用动能定理有：$F{l_3}={E_{k_3}}-{E'_{k_2}}={E_{k_3}}-\frac{2}{3}{E_{k_2}}$，
则：${l_3}=\frac{1}{3}$米
在l_n段应用动能定理有：$F{l_n}={E_{k_n}}-{E'_{{k_{n-1}}}}={E_{k_n}}-\frac{n-1}{n}{E_{{k_{n-1}}}}$，
则：${l_n}=\frac{1}{n}$米；
答：（1）在0号木块与1号木块碰撞后瞬间，其共同速度的表达式为：v'_共1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{\frac{F{l}_{1}}{m}}$；
（2）若F=10牛，l₁=l₂=1米，那么在2号木块被碰撞后的瞬间，系统的总动能为10J；
（3）第n-1号和第n号木块之间距离l_n为$\frac{1}{n}$米．

点评 本题考查了求速度、动能与距离问题，分析清楚木块运动过程，应用动能定理、动量守恒定律即可正确解题，解题时注意数学归纳法的应用．