Question

15．电子对湮灭是指电子“e^-”和正电子“e⁺”碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描（PET）及正子湮灭能谱学（PAS）的物理基础．如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且$\overline{OP}$=2L，Q点在负y轴上某处．在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，$\overline{OA}$=L，在第Ⅳ象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里．一束速度大小为v₀的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出电场区域；另一束速度大小为$\sqrt{2}$v₀的正电子束从Q点沿与y轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，而后进入未知圆形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反．已知正负电子质量均为m、电量均为e，电子的重力不计．求：
（1）圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小；
（2）电子子从A点运动到P点所用的时间；
（3）Q点纵坐标及未知圆形磁场区域的最小面积S．

Answer 1

分析 （1）根据题干的描述，画出电子束在磁场中的运动轨迹，利用几何知识，可得出轨迹的半径，结合洛伦兹力提供向心力的公式ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，即可解得磁场的磁感应强度．电子束在第一象限中的运动时类平抛运动，分别在x轴方向上和y轴方向上根据运动学公式列式即可求得电场强度的大小和在电场中的运动时间．
（2）电子束在磁场中偏转了90度，即为周期的四分之一，由此可得知在磁场中的运动时间，结合第一问中求得的在电场中的运动时间，即可求得由A到P的总时间．
（3）结合前两问，可解的电子束进入第四象限时的速度的方向，继而可知在P的速度大小，洛伦兹力提供向心力，利用公式evB=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$可求得轨迹半径，再利用几何知识即可求得圆形磁场区域的最小面积以及Q点纵坐标．

解答 解：（1）电子束从A点沿y轴正方向发射，经过C点，画出从A到C的轨迹，因射入时指向磁场区域的圆心，所以射出时背离圆心，如图所示．
结合几何关系有：r=L
粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$
联立解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{eL}$．
电子从C到P过程是类平抛运动，根据分运动公式有：
2L=v₀t₂
L=$\frac{1}{2}$${t}_{2}^{2}$
其中a=$\frac{eU}{m}$
联立解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eL}$，t₂=$\frac{2L}{{v}_{0}}$
（2）电子在磁场中运动的时间是$\frac{1}{4}$T，而T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2πL}{{v}_{0}}$
所以t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πL}{2{v}_{0}}$
电子从A到P所用的时间为：t=t₁+t₂=$\frac{（4+π）L}{2{v}_{0}}$．
（3）电子射出电场的区域时，沿y方向的分速度为：v_y=at₂
电子的运动方向与x轴之间的夹角为θ，有：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
代入数据得：θ=45°
速度的大小为：v′=$\frac{{v}_{0}}{cos45°}$=$\sqrt{2}{v}_{0}$
正电子“e⁺”在磁场中做匀速圆周运动，经过磁场的区域后速度偏转角为90°，洛伦兹力提供向心力，故有：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$
解得：r′=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{eB}$=$\sqrt{2}L$
由于正电子离开磁场时正好到达P点，所以轨迹如图所示．
由几何关系可得，该圆形区域的最小半径为：R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r′=L
故最小面积为：S=πR²=πL²
正电子束从Q点沿与y轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，所以$\overline{QN}$=$\overline{MN}$=$\overline{OP}$=2L
则有：$\overline{OQ}$=$\overline{QN}$+2R=4L，所以Q点纵坐标是-4L．
答：（1）圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{eL}$，第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eL}$；
（2）电子从A点运动到P点所用的时间为$\frac{（4+π）L}{2{v}_{0}}$．
（3）Q点纵坐标为-4L，未知圆形磁场区域的最小面积S为πL²．

点评 考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高．其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）的确定．