Question

11．在光滑绝缘的水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B．A球的带电荷量为+2q，B球的带电荷量为-3q，组成一带电系统．如图所示，虚线MP为AB两球连线的垂直平分线，虚线NQ与MP平行且相距为4L．最初A球和B球分别静止于虚线MP的两侧，距MP的距离均为L，且A球距虚线NQ的距离为3L．若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MP、NQ间加上水平向右的匀强电场E后，求：
（1）B球刚进入电场时，A球与B球组成的带电系统的速度大小．
（2）带电系统从开始运动到速度第一次为零时所需的时间以及B球电势能的变化量．

Answer 1

分析 （1）在B进入电场前只有A球受电场力2qE，根据运动学公式可求出B球进入电场前系统的加速度a₁，从而求出B球刚进入电场时系统的速度的大小v．
（2）根据t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$求出B球进入电场前运动的时间t₁；根据B球也进入电场后A球所受的电场力向右，B球所受的电场力向左，但总的电场力方向向左，可求出此时整体的加速度a₂，根据运动学公式t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$可求出系统向右减速运动的时间．最后求出带电系统从开始运动到速度第一次为零所需时间t=t₁+t₂．
B球进入电场后电场力对B球所做的功W=-6qL，故B球电势能增加了6EqL

解答 解：（1）带电系统开始运动时，设加速度为a₁，由牛顿第二定律：a₁=$\frac{2qE}{2m}$=$\frac{qE}{m}$，
球B刚进入电场时，带电系统的速度为v₁，有：v₁²=2a₁L，解得：v₁=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；
（2）对带电系统进行分析，假设球A能达到右极板，电场力对系统做功为W₁，
有：W₁=2qE×3L+（-3qE×2L）=0，
故带电系统速度第一次为零时，球A恰好到达右极板Q．      
设球B从静止到刚进入电场的时间为t₁，则：t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
球B进入电场后，带电系统的加速度为a₂，由牛顿第二定律：a₂=$\frac{-3qE+2qE}{2m}$=-$\frac{qE}{2m}$，
显然，带电系统做匀减速运动．减速所需时间为t₂，t₂=$\frac{0-{v}_{1}}{{a}_{2}}$=$\sqrt{\frac{8mL}{qE}}$，
可知，带电系统从静止到速度第一次为零所需的时间为：t=t₁+t₂=3$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
带电系统速度第一次为零时，球A恰好到达右极板Q，故进入电场后B球向右运动的位移：x=4L-2L=2L，
故电场力对B球所做的功为W=-3qE×2L=-6EqL，故B球电势能增加了6EqL；
答：（1）B球刚进入电场时，A球与B球组成的带电系统的速度大小为$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$．
（2）带电系统从开始运动到速度第一次为零时所需的时间为3$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，及B球电势能的变化量为：6EqL．

点评 解决本题的过程中要注意在B球未进入电场和B球进入电场后系统所受的电场力不同，故加速度不同，从而可以分别求出运动时间以及系统向右运动的最大距离．