Question

一质量为m=2kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径为R=1m的光滑圆环，如图示，试求：
（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；
（2）小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点；
（3）小球从h₁=2m处由静止滑下时将在何处脱离圆环（g=10m/s²）

Answer 1

分析：动能定理结合牛顿第二定律解出小球运动到最高点时受到的弹力，小球运动到圆环的最高点应当具有最小速度，即仅当重力提供向心力时，满足要求．

解答：解：（1）设小球滑至环顶时速度为v₁，所受环的压力为N，选顶点为零势点，小球运动过程中机械能守恒，
机械能守恒定律及圆周运动的知识
得：mg(h-2R)=

1

2

mv2
mg+FN=m

v2

R

，
由以上方程联立得：F_N=40N
（2）当圆环对小球的压力为零时，仅由重力充当向心力，对应的速度v₂为越过圆环最高点的最小速度，对应的高度h₁，为最低高度，
由机械能守恒定律及圆周运动知识
得：mg(h1-2R)=

1

2

m

v

2 2

mg=m

v 2 2

R

；
以上两式联立得：mg(h1-2R)=

1

2

mgR
h1=

1

2

R+2R=

5

2

R=2.5m
（3）由于h'＜h₁，故球在还没有到达顶前即与环脱离，设脱离时圆环的位置半径与竖直方向的夹角为θ，选轨道最低点为零势点，
由机械能守恒定律及圆周运动知识：mgh′=

1

2

mv2+mg（R+Rcos）
mgcosθ=m

v2

R

两式联立得：cosθ=

2(h′-R)

3R

即cosθ=

2

3

；
所以θ=arccos

2

3

处小球与圆环脱离．
答：（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力为40N；
（2）小球至少应从2.5m高处由静止滑下才能越过圆环最高点；
（3）小球从h₁=2m处由静止滑下时将在θ=arccos

2

3

处脱离圆环．

点评：解决这类题目的关键点是找准运动过程中的临界点，比如，小球运动到最高点具有最小速度．