Question

如图（a）所示，两块平行金属板，相距为d，加上如图（b）所示的方波形电压，电压最大值为U_m，周期为T．现有一离子束，其中每个粒子的带电荷量为Q，质量为m，从与两板等距处与板平行的方向连续射入[如图（a）]．设粒子通过平行板所用的时间为T（和电压变化的周期相同），且已知所有的粒子最后都可以通过两板间的空间而打在右端的靶上．试求粒子最后打在靶上的位置范围（即与靶心O′的最大距离和最小距离）．不计重力影响．

Answer 1

（1）t=0时刻射入的粒子打在靶上的位置与靶心O′的距离最大
设此距离为Y_max．
此粒子在 t=0至 t1=

T

2

时间内，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，竖直方向的位移为
   Y1=

1

2

at12=

1

2

×

QUm

md

×(

T

2

)2=

QUmT2

8md

此粒子在t1=

T

2

至t₂=T时间内，做匀速直线运动，竖直方向分速度为vy=a×t1=

QU m

md

×

T

2

竖直方向的位移为Y2=vy×

T

2

=

QU m

md

×

T

2

×

T

2

=

QUmT2

4md

∴Ymax=Y1+Y2=

QUmT2

8md

+

QUmT2

4md

=

3QUmT2

8md

（2）t=

T

2

时刻射入的粒子打在靶上的位置与靶心O′的距离最小
设此距离为Y_min．
此粒子在t=

T

2

至 t=T时间内，做匀速直线运动；在t=T至 t=

3T

2

时间内，粒子在水平方向上仍做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，竖直方向的位移为Ymin=Y1=

QUmT2

8md

∴粒子打在靶上的范围在距靶心O′为

QUmT2

8md

至

3QUmT2

8md

之间． 
答：粒子最后打在靶上的位置范围在距靶心O′为

QUmT2

8md

至

3QUmT2

8md

之间．