Question

如图（a）所示，两块平行金属板，相距为d，加上如图（b）所示的方波形电压，电压最大值为U_m，周期为T．现有一离子束，其中每个粒子的带电荷量为Q，质量为m，从与两板等距处与板平行的方向连续射入[如图（a）]．设粒子通过平行板所用的时间为T（和电压变化的周期相同），且已知所有的粒子最后都可以通过两板间的空间而打在右端的靶上．试求粒子最后打在靶上的位置范围（即与靶心O′的最大距离和最小距离）．不计重力影响．

Answer 1

分析：金属板间没有电压时，粒子做匀速直线运动；有电压时，粒子做类平抛运动，将粒子的运动沿着平行于初速度方向和垂直于初速度的方向正交分解，在平行于初速度方向，粒子做匀速直线运动，在垂直于初速度方向，粒子在电场力的作用下做变速直线运动，粒子在t=0时刻进入时，与靶心O′有最大的距离；在t=

T

2

时刻进入时，与靶心O′有最小的距离；根据牛顿第二定律和运动学公式结合列式求解即可．

解答：解：（1）t=0时刻射入的粒子打在靶上的位置与靶心O′的距离最大
设此距离为Y_max．
此粒子在 t=0至 t1=

T

2

时间内，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，竖直方向的位移为
   Y1=

1

2

at12=

1

2

×

QUm

md

×(

T

2

)2=

QUmT2

8md

此粒子在t1=

T

2

至t₂=T时间内，做匀速直线运动，竖直方向分速度为vy=a×t1=

QU m

md

×

T

2

竖直方向的位移为Y2=vy×

T

2

=

QU m

md

×

T

2

×

T

2

=

QUmT2

4md

∴Ymax=Y1+Y2=

QUmT2

8md

+

QUmT2

4md

=

3QUmT2

8md

（2）t=

T

2

时刻射入的粒子打在靶上的位置与靶心O′的距离最小
设此距离为Y_min．
此粒子在t=

T

2

至 t=T时间内，做匀速直线运动；在t=T至 t=

3T

2

时间内，粒子在水平方向上仍做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，竖直方向的位移为Ymin=Y1=

QUmT2

8md

∴粒子打在靶上的范围在距靶心O′为

QUmT2

8md

至

3QUmT2

8md

之间． 
答：粒子最后打在靶上的位置范围在距靶心O′为

QUmT2

8md

至

3QUmT2

8md

之间．

点评：本题关键将粒子的运动沿着平行于初速度方向和垂直于初速度方向进行正交分解，然后根据运动学公式列式求解．