Question

1．“太空粒子探测器”是安装在国际空间站上的一种粒子物理试验设备，用于探测宇宙中的奇异物质．该设备的原理可简化如下：如图所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面MN和M′N′，圆心为O，弧面MN与弧面M′N′间的电势差设为U，在加速电场的右边有一宽度为L的足够长的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，磁场的右边界放有一足够长的荧光屏PQ．假设太空中漂浮着质量为m，电荷量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到MN圆弧面上，并被加速电场从静止开始加速，不计粒子间的相互作用和其它星球对粒子引力的影响．
（1）若测得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为$\frac{L}{2}$，试求出U；
（2）若取U=$\frac{{q{B^2}{L^2}}}{2m}$，试求出粒子从O点到达荧光屏PQ的最短时间；
（3）若测得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为$\frac{2}{3}$L，试求荧光屏PQ上发光的长度．

Answer 1

分析 （1）根据粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径，先求出粒子进入磁场时的速度，然后根据动能定理，求出电场力做功，最后求出U；
（2）首先根据动能定理求出粒子进入磁场时的速度，然后根据圆周运动公式，求出粒子运动半径，利用几何中圆的特性可知弦长最短，所对的圆弧长最短，速度相同的话，时间最短；
（3）首先画出粒子的运动轨迹，然后根据题意找出临界值，最后根据几何知识求出相应线段长度．

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，$r=\frac{L}{2}$
带电粒子在电场中加速时，由动能定理，$qU=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
得：$U=\frac{{q{B^2}{L^2}}}{8m}$
（2）当$U=\frac{{q{B^2}{L^2}}}{2m}$时，
由上题结论可知：r=L
从O点斜向下射入磁场时，OC为弦，
到达PQ屏时间最短，
由几何关系可知：
OD=CD=OC=L     故θ=60°
得：$t=\frac{1}{6}T$，$T=\frac{2πm}{Bq}$，$t=\frac{πm}{3Bq}$
（3）设粒子打在C点上方最远点为E，此时圆弧与PQ屏相切于E点，
过圆心O₁作OC的垂线O₁G，在直角△OO₁G中，
OO₁=r=$\frac{2}{3}L$，OG=L-r=$\frac{1}{3}L$
所以O₁G=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$即CE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$
设粒子打在C点下方最远点为F，此时粒子从O点竖直向下进入磁场，圆弧与PQ交于F点．
同理可得：CF=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$
所以，荧光屏PQ上发光的长度EF=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}L$．
答：（1）U为$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{8m}$；
（2）粒子从O点到达荧光屏PQ的最短时间为$\frac{πm}{3Bq}$；
（3）荧光屏PQ上发光的长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}L$．

点评 静电力做功和动能定理结合的是电磁大题常出现的考点，应熟练掌握．磁场中粒子轨迹问题需在纸上画出草图，结合圆的几何知识求解，此题难点再与临界点如何求，可以运用极限分析法分析．