Question

16．如图所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C．一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板．滑板运动到C时被牢固粘连．物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为R，板长l=6.5R，E距A为s=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均为0.5，重力加速度取g．
（1）求物块滑到B点的速度大小；
（2）若板右端到C的距离L足够大，求当两物体共速时板滑行的距离；
（3）若板右端到C的距离L在R＜L＜5R范围内到值，试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功W_f与L的关系．

Answer 1

分析 （1）物块滑到B点经过了两个过程，先是在传送带上的匀加速直线运动，由动能定理可求A点速度；A到B的过程机械能守恒可求B点的速度．
（2）应用动量守恒、动能定理求出物块与滑板在达到相同共同速度时的位移，判断物块有没有离开滑板；
（3）应用功的计算公式求出克服摩擦力做的功W_f与L的关系．

解答 解：（1）设物块运动到A和B点的速度分别为v₁、v₂，
由动能定理得：μmgs=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
由机械能守恒定律：$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁²+mg•2R
解得：v₂=3$\sqrt{gR}$；
（2）设滑板与物块达到共同速度v₃时，位移分别为l₁、l₂，
以向右为正方向，由动量守恒定律mv₂=（m+M）v₃，
由动能定理得：μmgl₁=$\frac{1}{2}$Mv₃²，
-μmgl₁=$\frac{1}{2}$mv₃²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
联立③④⑤⑥，得 l₁=2R　l₂=8R
（3）物块相对滑板的位移△l=l₂-l₁ △l＜l，
即物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板，
物块滑到滑板右端时，
若R＜L＜2R，W_f=μmg（l+L），
W_f=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L），
若2R≤L＜5R，W_f=μmg（l+l₁），
W_f=$\frac{17}{4}$mgR；
答：（1）物块滑到B点的速度大小为3$\sqrt{gR}$；
（2）若板右端到C的距离L足够大，当两物体共速时板滑行的距离为2R；
（3）克服摩擦力做的功W_f与L的关系为：①若R＜L＜2R，W_f=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L）；②若2R≤L＜5R，W_f=$\frac{17}{4}$mgR．

点评 本题考查动量守恒和机械能守恒以及有摩擦的板块模型中克服摩擦力做的功．判断物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板是关键，是一道比较困难的好题．