题目内容
3．
如图所示，半径R=0.80m的四分之一 光滑圆弧轨道竖直固定，过最低点的半径OC处于竖直位置．其右方有底面半径r=0.2m的转筒，转筒顶端与C等高，下部有一小孔，距顶端h=0.8m．转筒的轴线与圆弧轨道在同一竖直平面内，开始时小孔也在这一平面内的图示位置．今让一质量m=0.1kg的小物块自A点由静止开始下落后打在圆弧轨道上的B点，但未反弹，在瞬问碰撞过程中，小物块沿半径方向的分速度立刻减为O，而沿切线方向的分速度不变．此后，小物块沿圆弧轨道滑下，到达C点时触动光电装置，使转简立刻以某一角速度匀速转动起来，且小物块最终正好进入小孔．已知A、B到圆心O的距离均为R，与水平方向的夹角均为θ=30°，不计空气阻力，g取l0m/s2．求：（1）转筒轴线距C点的距离L；
（2）转筒转动的角速度ω．
分析 （1）先根据几何关系求得碰后小球速度，从B到C得运动过程中运用动能定理求得到达C的速度，小球从C点抛出后做平抛运动，根据平抛运动的基本规律即可求解；
（2）小物块最终正好进入小孔，所以在小球做平抛运动的时间里，转筒正好转了n圈，即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$（n=1，2，3…）．
解答 解：（1）由题意可知，ABO为等边三角形，则AB间距离为R，小物块从A到B做自由落体运动，根据运动学公式有
vB2=2gR，vB切=vBsin60°
从B到C，只有重力做功，据机械能守恒定律有$mgR（1-cos60°）+\frac{1}{2}mv_{B切}^2=\frac{1}{2}mv_C^2$
在C点，根据牛顿第二定律有${F'_C}-mg=\frac{mv_C^2}{R}$
代入数据解得${v_C}=2\sqrt{5}m/s，{F'_C}=3.5N$
滑块从C点到进入小孔的时间：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$
L-r=vCt
则L=r+vCt=0.2（1+4$\sqrt{5}$） m
（2）在小球平抛的时间内，圆桶必须恰好转整数转，小球才能钻入小孔；
即ωt=2nπ（n=1，2，3…）
则$ω=\frac{2nπ}{t}=5nπ（n=1，2，3$…）
答：（1）转筒轴线距C点的距离L为0.2（1+4$\sqrt{5}$） m；
（2）转筒转动的角速度ω为5nπ（n=1，2，3…）．
点评 本题是圆周运动与平抛运动相结合的题目，考查了圆周运动及平抛运动的基本规律，运动过程较为复杂，难度较大．
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